渗流网络中马尔科夫过程的研究

【摘要】本文主要研究了Zd上伯努利渗流开簇和网络的动态行为，得到了大数定理和大偏差定理等极限理论.由于不能直接在渗流开簇上定义马尔科夫过程，故本文在无序的渗流网络中定义了马尔科夫过程.并在此基础上研究了渗流网络中的马尔科夫链大偏差理论，并给出了大偏差定理的速率函数的显示表达.

【关键词】渗流网络;马尔科夫过程;极限定理

一、边渗流与点渗流

1.什么是渗流

渗流是许多实际问题的抽象，比如，水在有孔介质中的逾渗、火势的蔓延等都可以用渗流模型来描述，他们关心的是在给定空间上一些随机分布对象的连通性问题，考虑二维正方形网格上的渗流问题，我们可以以某个概率p随机地占据网格上的点或边，当两个被占据的点或边相接触时，我们就称其为连通的，互相连通在一起的所有点或边的集合称为连通集合.很显然地，当概率p较小时，网格上只会有一些孤立的小的集合，而当p较大时(极限情况下p=1)，则会形成连通网格边界的无限大集合，研究发现，无限大集合的出现是一个典型的连续相变问题，对无限大的网格，存在着一个临界渗流概率pc.当ppc，则会存在一个无限大集合，网格是可以渗流的.

2.渗流的数学模型

我们用数学语言来阐述究竟什么是渗流，考虑图G=(V,E)，V为顶点集，E为其所有边所构成的集合，设所有边独立地以概率p开通，1-p闭合，则所有开边构成G的一个随机子图.上面的问题归结为在这个随机子图中是否存在一条由开边构成的连接中央点和边缘的连通分支，图G的一条路是指G的一个顶点序列:v1，v2，…，使得对所有的i≥1，vi和vi+1在G中相邻.一条路称为是开路，如果构成它的所有边{vi，vi+1}都是开的.用开路相连的点组成的连通集合称为开簇.假设A，BV，则AB表示存在开路连接A中某个顶点和B中的某个顶点.通常如果记号不会产生混淆，以uv代表事件{u}{v}.包含顶点v的开簇C(v)是所有可以被开路与v连接的顶点全体.即

C(v)={u∈v:uv}.

假设G是无限图，以O代替中央点，以Pp表示相应的概率测度，渗流理论的一个中心问题就是考虑渗流概率

θ（p）=Pp{0∞}=Pp{|C（0）|=∞}.

这就是Hammersley［1］等人最早研究的边渗流模型，与边渗流相对应的是点渗流，即所有的边是确定开通的，但点却独立地开或闭分别以相应的概率p或1-p.一个开路此时指其上的所有点都是开的.

二、渗流网络上的马尔科夫链

1.引 言

不论是Haggstrom研究的Dac模型还是随机着色模型［2］，其共同点都是将随机过程定义在渗流开簇上，且同一开簇上个体的行为是一致的.众所周知，马尔科夫过程是随机过程理论中具有良好性质的随机模型，可以用来刻画很多现实模型，但是，如何在渗流开簇上来定义马尔科夫过程呢?到目前为止，我们对渗流开簇的几何形状还知之甚少，渗流开簇的分布也是杂乱无章的，定义马尔科夫过程，必然要有时间或空间的次序. 本文，我们摈弃以往直接在渗流开簇上定义过程的方法，而是按照距离原点的远近来重新划分渗流网络中的顶点，将格点Bn分划为Γ0,Γ1,…,Γn相应于序列Γn,n≥0，我们定义一个齐次马尔科夫链，使得在同一Γk上的个体的行为是一致的.因而从某种程度上来说，这样所构造的模型比Dac模型更一般化.

2.主要结果

设{Xn,n≥0}是取值于状态空间S={1，2，…，m}的遍历链，P=(pij)m×m是其不可约转移矩阵，π=(π（1）,π（2）,…，π（m）)是马尔科夫链{Xn,n≥0}的平稳分布.设Pi0和Ei0分别是概率分布和数学期望，这里Pi0被定义为

Pi0（A）=∑i∈APi0i,P（X0=i0）=1.

定理1 设μ=∑mk=1π(k)f(k)和a>μ，则在条件概率测度P0意义下，对几乎所有的ω∈Ω0，limn∞1[]nlogPi0(Sn≥bna)=-I(a).

这里，I(a)=sup{(ac(p)δ-∫10logρ(δc(p)dxd-1dx}(δ>0)，

且ρ(x)表示矩阵P(x)=(pijexf(j))m×m的PerronFrobenius特征值，x∈R是实数.

定理2 设Sn=∑nk=0γkf(Xk),则在条件概率测度P0意义下，对几乎所有的ω∈Ω0，当n∞时，我们有

Sn-ESn[]Var(Sn)N(0,1).

这里N(0,1)表示标准正态分布.

由定理1可知，速率函数I(a)是与渗流密度参数ρ有关的，且定理1的结论可以推广到更一般的形式，不必拘泥于渗流环境下，如果存在参数γ>0和a≥1以及两个正实数序列{bn,n≥1}和{γn,n≥1}，使得当n∞时，有

bn~na,γn~na-1

成立，则对于1[]bn∑n[]k=1γkf(Xk)

的大偏差，我们同理有它的速率函数

I(a)=sup{(yγδ-∫10logρ(δ)γxa-1dx}(δ>0).

三、结束语

对于渗流网络上的马尔科夫链，我们研究了其大偏差定理，丰富了大偏差理论.一般来说，经典的大偏差理论关心的是独立随机变量序列和其前n项的算术平均，而我们则研究了形如bn/Sn规范和的大偏差定理，这是对经典大偏差理论的充实.此外，我们还给出了一类非齐次马尔科夫链的大偏差理论和其速率函数的显示表达.

【参考文献】

［1］Broadbent,S.R.and Hammersley,J.M.Percolation processes［M］.Cambridge Philos.Soc.53 629-645,1957.

［2］Haggstrom,O.Coloring percolation clusters at random ［J］.Stochastic Processes Appl.96 213-242,2001.