自由落体运动另类分析及教学启示

(南通市天星湖中学江苏 南通226010)

对自由落体运动的认识，以及具有怎样的规律？早在三百多年前，伽利略就已利用理想斜面冲淡重力的方法进行模拟，后经过合理的外推得到了结论.现行高中物理各种版本的教材几乎以对自由落体运动的认识，再借鉴打点计时器研究匀变速直线运动的方法来研究自由落体运动展开教学.笔者学习了麻省理工学院Prof. Walter Lewin教授执教的《经典力学》开放课，收获颇多，有幸与大家分享一下对自由落体运动的两种另类分析.

1量纲分析法

1.1理论分析

量纲分析法，可以用来解方程、试特殊解，有时候也能用来建立物理模型.一个物理量Q一般可以表示为基本量的乘幂之积，表达式可以表示为：

［Q］=Lα*Mβ*Tγ*Iδ*ε*Jζ*Nη.

其中α、β、γ、δ、ε、ζ、η为量纲指数.

物体做自由落体运动，具有怎样的规律，我们先猜想影响时间t的相关因素.容易想到可能与下落的高度h，物体的质量m，自由落体的加速度g有关.

设：C・hα・mβ・gr(C为常数，以下C、C1、C2、C3均为常数)；

用量纲表示为：［t］1=［s］α・［m］β・［st2］γ;

列式β=0,α+γ=0,-2γ=1;

解得α=12,β=0,γ=-12;

因此得t=Chg∝hg(*)

1.2实验验证

提供同一地点g值相等，先由(*)式预测了t1∶t2=1.414.课堂上让两个小球分别从3 m和1.5 m的高度自由下落，用光电计时器测量对应的时间，当h1=3 m时，时间为t1=0.781 s，当h2=1.5 m时，时间为t2=0.551 s，有t1∶t2=1.417，考虑到测量误差，与由量纲推导的表达式预测一致.

但是，如果进行另一种方式猜想：时间t与下落的高度h，物体的质量m，地球的质量M有关，t=C・hα・mβ・Mγ，那量纲分析法就彻底地不行了.因为，此时β+γ=0，而时间t与高度h之间量纲无法建立联系，但依然幸运地得到了时间t与物体的质量m无关.

1.3教学启示

教学过程，先对现象猜想、再由理论推测、最终用实验数据验证.精彩不言而喻，探究扎扎实实.与科学家们进行科学研究的过程保持高度的一致性，科学史上诸如牛顿发现万有引力定律、汤姆孙发现电子、查德威克发现中子等都是这样的过程.此外，作为教学上来说，也可以锻炼学生的认知、发展能力，提高思维的素养.事实上美国教育教学中也确实更加强调了分析与演绎的能力、提问与猜想的过程，又例如在研究斜抛运动时，得到了上升的最大高度h=(v0sinθ)22g表达式后，Lewin教授同样提出了结论正确的可行性分析，v0变大，则h变大，g值变小，h变大等.

量纲分析法既有成功的一面也有不足之处，教学过程向我们展示了科学研究时严谨求是的一面，可是在我们的应试教育下，却是绝对不能讲错误的理论.此外，平时的教学过程中我们也很少碰到有量纲分析的实例，高中物理人教版教材仅在力学单位制章节出现了一处，要求说一说，圆锥体积的计算式V=13πR3h为错误的.所幸现在的高考题中正在逐步转变，例如2009高考北京卷理综物理第20题，2010年高考福建卷物理第18题的带电圆板形成的电场强度表达式的分析，笔者确信今后会有更多的相关高考题呈现给我们.

2求导分析法

2.1理论分析

由一维运动引入时空观物理量，时刻、时间、位置、位移、路程、作x-t图象.再引入平均速度12=x2-x1t2-t1，=ΔxΔt，瞬时速度vt=limΔt0xt+Δt-xtΔt=dxdt，实验实测得到子弹的瞬时速度；引入平均加速度12=v2-v1t2-t1，通过两个例题巩固加速度的概念，得到瞬时加速度

at=limΔt0vt+Δt-vtΔt=dvdt=d2xdt,

介绍求导和二阶导数公式，如x=tn求导有：

dxdt=n・tn-1.

举例一维运动物体的位移时间关系为x=8-6t+t2 m，可得瞬时速度的表达式v=-6+2t m/s,加速度a=+2 m/s2.讨论一些特殊值，当t=0时，有x=+8 m，v=-6 m；当x=0时，有t=+2 s或者+4 s；当v=0时，有t=3 s，并指出此一维运动的x-t图象为一抛物线.小结一般性的结论，当a=C时，一维运动的物体有x=C1+C2t+C3t2，v=C2+2C3t，a=2C3，进一步有C1=x0、C2=v0、C3=12a.

那么物体在重力作用下的运动，得考虑重力引起的加速度g，而且g值为一定值，因此对应着位移、速度、加速度表达式分别有，x=x0+v0t+12gt2，v=v0+gt，a=g.作为自由落体运动的特征，x0=0、v0=0，因此规律表达式进一步变化为x=12gt2，v=gt，a=g.

2.2实验验证