例谈平面直角坐标系的工具性

平面直角坐标系在实际问题中的应用非常广泛，建立不同的坐标系，抛物线的解析式就不同，但问题的答案却是相同的，只是解答时的繁简程度不同，所以选择恰当的方法建立坐标系十分必要.

例如，河上有一座抛物线拱桥，拱桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽为6m，当水位上升1m时，水面宽为多少？

图1方法1：以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，过原点的铅垂线为y轴，建立如图1的坐标系.

设桥孔抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）.

显然B点坐标为（3，3），

y=-13x2.

当y=-2时，-13x2=-2，解得x=±6.

C（-6，-2），D（+6，-2），即CD=26.

图2方法2：以水面AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，与AB垂直的直线为y轴，建立如图2的坐标系.

设桥孔抛物线的解析式为y=ax2+3（a≠0）.

显然B点坐标为（3，0）.

y=-13x2+3.

当y=1时，-13x2+3=1，解得x=±6.

C（-6，1），D（6，1），即CD=26.

图3方法3：以上升水位CD所在直线为x轴，CD的中点为坐标原点，与CD垂直的直线为y轴建立如图3的直角坐标系.

设桥孔抛物线的解析式为y=ax2+2（a≠0）.

显然B点坐标为（3，-1）.

y=-13x2+2.

当y=0时，-13x2+2=0，解得x=±6.

C（-6，0），D（6，0），即CD=26.

图4方法4：以A点为坐标原点，AB所在直角为x轴，与AB垂直的直线为y轴，建立如图4的直线坐标系，易知抛物线顶点坐标为（3，3）.

设抛物线解析式为y=a（x-3）2+3（a≠0）.

显然B点坐标为（6，0）.

y=-13（x-3）2+3.

当y=1时，-13（x-3）2+3=1，解得x=3±6.

C（3-6，1），D（3+6，1）.

CD=26

图5方法5：以C点为坐标原点，CD所在直线为x轴，与CD垂直的直线为y轴，建立如图5的坐标系.

设桥孔抛物线的解析式为y=a（x-m）2+2.

由抛物线的对称性可知，D（2m，0），B（3+m，-1）.可得方程

a（2m-m）2+2=0，

a（3+m-m）2+2=-1.

a=-13，

m=6（负值已舍）.

CD=26.

方法其实很多，以平面内的任意一点为原点，建立坐标系，只要可以表示有关点的坐标，都可以求出CD的长，直角坐标系的工具性显而易见，但方法1、方法2、方法3有一个共同特点，即y轴过抛物线的顶点，这样建立坐标系，表示点的坐标方便，求抛物线解析式简洁.比较众多方法可知，直角坐标系是解决实际问题的工具，为方便解题，选择恰当的坐标系十分必要.