用直观和题组之钥开困难生思维之门

摘要：运用直观性教学，手段开展可以丰富学生头脑中的表象系统，并提高他们的联想和想象的思维能力，从而提高学生数学形象思维力。在直观教学的指导下，运用变式等手段进行题组教学，在增强学生逻辑推理同时，还能培养他们抽象思维能力。本文通过两个实践的案例研究，探讨了直观性教学和题组教学对困难生教学的有效性。

关键词：直观性教学 题组教学 数学形象思维 数学思维

一、直观性教学能让学生与数学更加亲近、收获更多

直观性教学是指利用学生的多种感官和经验，通过多种形式的感知，把抽象的书本知识变成可以观察、触摸、想象的知识，达到丰富学生知识的目的。比如，实物、教学道具、多媒体展示等手段的运用都属于直观性教学。

以一个语言直观教学为例来说明：

探究：函数满足等式，试说明函数的具有什么样的性质？

常规教学设计：直接由推理出：，得到再得出：得出从，所以，4为函数的一个周期。

点评：从访谈交流中发现，很多教师运用此设计进行教学，要求学生以逻辑推理完成理解和记忆，但很多基础薄弱的困难生很难接受这一组抽象推理，即使死记住了，也很痛苦，不知道为什么这样做，达不到方法的变通运用。

语言直观教学设计：

教师：回忆一下，见过类似这样形式的式子吗？（稍停顿后）回忆表示2为函数的一个周期。周期描述的是周而复始的现象，此式可形象地表达为跨步为2的情况下，值重复出现，说明2为函数的周期。

教师：那么怎么理解的形象含义呢？

学生：跨步为2的情况下，所得值变为原来的相反数;（师生合作）再跨2的话，值又变为相反数;那么总共跨步为4的情况下，函数值重复出现，因而，4是函数的一个周期。

变式1：那么，怎么理解表示函数具有什么样的性质呢？

学生：4为函数的一个周期，因为跨步为2时，所得值变为相反数;再跨2时又变为相反数，两次相反数，值就重复出现了;所以跨步为4时，函数值重复出现。

变式2：如何理解表示函数具有什么样的性质呢？

学生：4为函数的一个周期，因为跨步为2时，所得值变为相反数和倒数，再跨2时又变为相反数和倒数，两次相反数和倒数，值就重复出现了;所以跨步为4时，函数值重复出现。（条件允许的话，也可以探究和、积为定值的一般性结论）

评：此设计在开始处增设了语言直观教学，通过迈步子的跨步作形象解释，所有学生都很容易理解和记忆该性质，并容易产生迁移，解决更为抽象的刻画周期性质的等式。最后让学生通过自己的形象理解，尝试去用符号语言证明结论，达到了形象思维和抽象思维的双重训练。

二、直观性原则指导下的题组教学，能增加联想和发展想象能力

在数学思维过程中，获得的表象只是形象思维的起步，和进行逻辑思维一样，要进一步展开思维活动，还必须通过表象进行广泛联想，以获得新思维的成果。

如已知函数和函数，若对于任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 .

分析：“若对于任意的实数，总存在，使得成立”。

这一条件很抽象，学生很难理解，处理不好，不仅此题解决不了，还可能打击困难生学习数学的自信，使他们产生畏惧心理。但是，如果抛弃传统的抽象解析，改用语言直观教学，通过创造想象，即使基础再薄弱的学生都很容易理解，能增强他们数学学习兴趣和进一步探究的欲望。

引导想象：区间想象成一个班级，区间中的数想象成班级中的学生，每一个函数值想象成一个学生的数学成绩。这样，区间看作4班，看作4班的一个学生，就可看作这个学生的数学成绩。同样，区间看作5班，看作5班的一个学生，就可看作这个学生的数学成绩。

条件“若对于任意的实数，总存在，使得成立”，就可以想象成：“对4班任意一个学生的数学成绩，5班总存在一个学生的数学成绩与之相等”。此时，学生容易得到推理，4班学生的数学成绩构成的集合应该为5班学生数学成绩构成的集合的子集。再回到题目，学生很容易推理：因为，若对于任意的实数，总存在，使得成立，所以，的值域为值域的一个子集而的值域为，则为值域的一个子集。又因为函数过定点得到，实数的取值范围为。

用题组渗透逻辑推理训练：将抽象的数量关系想象成两个班的数学成绩比较，非常形象，学生容易理解和拓展，丰富了他们的表象，也提高了他们再造想象的思维能力。如果能够在此基础上进行下面的变式训练，可以让学生体验逻辑推理，他们智慧的火花会绽放得更彻底、更美。

变式1将“”变成“”，题目如下：已知函数和函数，若对于任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围为 .

变式2：将“”变成“”，再将“总存在”变成“任意的”，题目如：已知函数和函数，若对于任意的实数 ，任意的，使得成立，则实数的取值范围为

点评：大部分困难生能够独立地实现下面的想象，并进行推理。

变式1：“若对于任意的实数，总存在，使得成立”，想象成“对于4班任意一个人的数学成绩，在5班都能找到数学成绩比他大”。从而得到推理：5班的最高分大于4班的最高分即，转化成最值问题。

变式2：“若对于任意的实数任意的，使得成立”想象成“对于4班任意一个人的数学成绩，在5班的任意一个人的数学成绩都比他高”。从而得到推理：5班的最低分大于4班的最高分即，转化成最值问题。

通过一式多变的题组教学，抽象的数学问题轻易化解，学生的联想与想象能力得到提高。学生在学会思考的同时，头脑中增加了知识储备，丰富了表象系统，为下次数学形象思维能力的开展提供更多的素材，数学形象思维能力得到了提高。此外，在进行变式题组训练时，无形中渗透了逻辑推理，为培养学生的数学抽象思维能力打下了基础。

数学问题的分析往往要以形象思维为先导，展开联想，用类比、归纳等手段进行探索，再借助各种逻辑手段进行推理求解或证明，因而加强直观性教学，丰富表象系统、提高联想和想象，对于提高学生的形象思维能力是非常重要的，也是困难生更容易接受的。有了形象思维的基础，再加强题组教学，以及其他手段，就能提高学困生的抽象思维能力，并使他们形成和发展直觉思维，进而提高他们的整体思维能力。

参考文献：

[1]任樟辉.数学思维论[M].南宁：广西教育出版社，1990.

[2]徐国森.数学中的形象思维形式[J].数学通报，1990（12）