基于三角函数重点知识的教学讨论

【中图分类号】G634.6

1.《三角函数》在中学数学中的地位

《三角函数》是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究的方法主要是代数的研究方法，因此，三角函数的学习已经初步把代数和几何联系起来了.《三角函数》知识是在幂函数、指数函数、对数函数之后进行研究学习的，而对于人教版数学必修一第一章的内容，学生因为没有适应高中的学习环境，对新的知识、新的学习方法掌握得不是很好，《三角函数》的学习有利于学生进一步理解研究函数的思想和方法.

2.《三角函数》的教材编排

中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段，主要研究《锐角三角函数》和《解直角三角形》的内容.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.

3三角函数重点知识的教学讨论

“三角函数”的内容，主要是任意角三角函数的概念、三角函数诱导公式以及三角函数图像与性质三方面的知识，掌握好这些基础知识，是三角函数应用的基础，是学习其它知识的奠基.

3.1“任意角的三角函数”的概念教学

任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义.它是本节乃至本章的基本概念，是学习其它与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要作用.解决这一重点的关键，是引导学生学会用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示三角函数.

在本节课的教学过程中，最重要的是引导学生回顾初中时学习的锐角三角函数的定义，从原有的认知基础出发，来认识任意角的三角函数的定义.引导学生在直角坐标系中讨论，用坐标法研究锐角三角函数，进一步讨论改变终边上的点的位置是否改变其比值.在得出结果之后，再引导学生思考，逐步引入单位圆，利用单位圆定义任意角的三角函数，此时再结合"任意角和弧度制"中的相关知识.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.在给出三角函数的定义之后，使学生明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f（x）表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等式是没有意义的.根据三角函数可以看成是自变量为实数的函数，进而引导学生讨论函数的定义域、函数值等问题，同时引导学生根据定义，利用数形结合的方法判断三种函数的值在各象限的符号.利用单位圆以及三角函数线知识，推导出同角三角函数的基本关系式：.

任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点.无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质等，都具有重要的意义.

3.2“三角函数的诱导公式”的应用教学

3.3“三角函数的性质与图像”的重点教学

三角函数的图像和性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是三角函数的重点.教材中主要学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，要求学生熟练掌握三角函数图像的形状特征，并能在图像直观下研究函数的性质.教师在教学过程中利用信息技术工具（如几何画板），快捷地作出三角函数的图像，利用动态演示功能，帮助学生发现图像的特点，观察函数变化的过程，运用数形结合的方法研究三角函数的性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图像，使学生认识及运用三角函数的性质.

在讨论过正弦函数的图像之后，再结合图像总结正弦函数的性质.由于在这之前学生已经学习了指数函数、对数函数的性质，因此可以根据类似的思想讨论正弦函数的性质，得出正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，及其奇偶性、单调性.

其次是余弦函数图象与性质.如同正弦函数图像，利用余弦线作余弦函数图像比较复杂，因此根据教材的建议，在作出正弦曲线的基础上，利用诱导公式六，通过图像变换得出余弦曲线.使学生加强正弦函数与余弦函数的联系，为学生提供通过图像变换作出函数图像的机会，渗透数形结合思想.接下来的讨论可以根据研究正弦函数图像的方法，包括对余弦函数性质的探讨.

最后是正切函数的性质和图像.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中.但是不同于正弦函数与余弦函数的讨论顺序，正切函数是先根据其定义、诱导公式、正切线等知识研究性质，再根据性质研究正切函数的图像.为学生提供了研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图像，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面.

基于三角函数三角函数知识在中学阶段具有重要的地位，同时学生在学习三角函数知识时，应用到了多种数学思维方法，在进行相关知识教学时，学生要熟练掌握前后知识的联系，积极配合教师的教学，教师也会调动学生的学习积极性，培养学生的自主探究、合作交流等能力.