标的资产服从分数布朗运动的欧式权证定价

摘 要：在标的资产服从几何分数布朗运动模型假设下，利用无套利和自融资求出了在标的资产由红利支付时的欧式未定权益的一般定价公式，并由此得到了欧式权证的定价公式。

关键词：分数布朗运动；欧式未定权益；欧式权证

中图分类号：F12文献标识码：A文章编号：1672-3198（2007）12-0063-02

1 预备知识

分数布朗运动的这些性质使得它成为数理金融的一合适的工具。文和文在H>12时应用Wick积和分数白噪声理论定义了一种关于分数布朗运动的随机积分，并证明了市场无套利且为完全市场。本文采用此种随机积分的定义，并恒假设12

如果标的资产价格S(t)满足下式：

我们称标的资产价格S(t)服从几何分数布朗运动的市场（并满足通常的Black-Scholes模型的条件）为Ito型分数Black-Scholes市场。文还证明了此市场不存在套利且是完全市场。

现在我们考虑一Ito型分数Black-Scholes市场仅有两种证券，一种无风险资产即债券与一种股票，设(Ω,F,Ft,P) 是一个具有σ-流的概率空间，其中Ft是由分数布朗运动BH(t)产生的自然σ-流，其中债券方程满足：

2 欧式未定权益的一般定价公式

考虑一资产组合θ(t)=(μ(t),v(t))，其中μ(t),v(t)分别表示在t时刻债券和股票的持有量，并均为Ft适应过程，则相应的财富过程为：

我们考虑标的资产的价格服从几何分数布朗运动，设在到期时刻T有界盈利f(S(t))的欧式未定权益在t∈［0,T)价格记为C(S(t),t)，我们有如下欧式未定权益的一般定价公式。

定理2.2 欧式未定权益在期满前任意时刻t时的价格为：

3 欧式权证的定价公式及套期保值策略

权证，英文名warrant，是一种有价证券，投资者付出权利金购买后，有权利而非义务在某一特定时期按约定价格向发行人购买或出售标的证券。根据行使期的不同，权证可以分为欧式权证和美式权证；根据权利的行使方向，权证可以分为认购权证和认沽权证。

现在我们考虑基础标的资产的价格服从几何分数布朗运动并有连续红利支付的欧式权证，设执行价格为 K，到期时刻为T，行使比例为1:1，无风险利率和红利率均为时间t的确定性函数，分别记为r(t),δ(t)，则在风险中性概率Q下，标的资产的价格服从以下方程：

参考文献

［1］Ducan,T.E., Y Hu and B.Pasik-Ducan, Stochastic calculus for fractional Brownian motion, I.SIAMJ. Control Optim., 38(2000),582-612.

［2］Hu, Y. and B.Qksendal, Fractional white noise calculus and application to finance, Inf. Dim. Anal. Quanum Prob. Rel. Top, 6(2003), 1-32.

［3］Lin, S.J. Stochastic analysis of fractional Brownian motion, fractional noises and application, SIAM Eeview, 10(1995), 422-437.

［4］陈松男.金融工程学［M］.上海：复旦大学出版社，2002.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。