探讨假设检验的基本问题

基金项目：内蒙古教育厅项目--《数学教育工学结合人才培养模式的建构与实践》（2013nmjg029）

摘 要 ：本文以一个简单例子探讨了统计中统计推断的一项重要内容--假设检验及其相关的基本问题。假设检验是利用样本对总体进行某种推断的方法。文中给出了对总体参数如何提出假设；再如何利用样本数据判断这个假设成立与否；以及假设检验方法可能犯的错误等。

关键词 ：假设检验；统计量；拒绝域；错误

中图分类号：O21 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2015）01（c）0000-00

1.前言

假设检验是统计推断的重要组成部分，是利用样本对总体进行某种推断的方法。它先对总体参数的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。那么如何利用样本信息，对假设成立与否作出判断的一套程序是本文探讨的内容。

在现实生活中有大量的事例可以归结为假设检验的问题。本文从下面例子谈起。

2.假设检验的一个例子

例：由统计资料得知，2008年某地新生儿的平均体重为3190克，现在从2010年的新生儿中随机抽取100个，测得其平均体重为3210克，问：2010年的新生儿与2008年相比，体重有无显著差异？

解：从结果看，2010年新生儿平均体重比2008年新生儿平均体重增加了20克，但这20克的差异可能产生于抽样的随机性或可以理解为抽样随机性不可能造成20克这样大的差异，新生儿体重确实有增加。那么，这20克的差异说明了什么？下面我们可以采取假设的方法。

（1）提出假设： 表示2010年新生儿平均体重； 表示2008年新生儿平均体重。假设2008年和2010年新生儿的体重没有显著差异，则原假设和备择假设分别为

，

原假设与备择假设互斥，肯定原假设，意味着放弃备择假设；否定原假设，意味着接受备择假设。

（2）确定检验统计量及检验法：原假设是否成立呢？我们要借助样本统计量进行统计推断，这个统计量被称为检验统计量。选择哪个统计量作为检验统计量需要考虑一些因素，例如，样本是大样本还是小样本，总体标准差 已知还是未知，等等。

假定已知总体的标准差 ，样本量 ， ， ，所以采用 统计量：

，

由抽样分布原理知统计量 服从标准正态分布，故检验用 检验法。

（3）确定拒绝域：

如果显著水平 ，则95%的 应当落在区间 内，即 内。那么，我们把相应的区间

即

称为拒绝原假设的拒绝域。如果原假设成立，那么在一次实验中 落入拒绝域： 内的概率只有0.05，这个概率是很小的。如果这个情况真的出现，我们有理由认为总体的真值不是3190克，也即拒绝原假设，接受备择假设。

这利用的是小概率原理，小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。根据这一原理可以作出是否拒绝原假设的决定。但是什么样的概率才算小呢？概率0.05够小吗？著名的英国统计学家费希尔把小概率的标准定为0.05，虽然费希尔并没有对为什么选择0.05给出充分的解释，但人们还是沿用了这个标准，把0.05或比0.05更小的概率看成小概率。

（4）检验假设做出决策：把已知数据 ， ， ， 代入 算得

，落入拒绝域，所以拒绝原假设，认为与2008年相比，2010年新生儿的体重有显著差异。

3.假设检验两类错误

对原假设提出的命题，我们依据样本提供的信息需要做出真与伪的判断，也就是由部分来推断总体。因而判断有可能正确，有可能不正确，也就是说，我们面临着犯错误的可能。所犯的错误有两种类型，一类错误是原假设 为真却被我们拒绝了，这种错误称为弃真错误；另一类错误是原假设 为伪我们却没有拒绝，这种错误称为纳伪错误。

自然，人们希望犯这两类错误的概率越小越好。那么只能增大样本量 ，才能做到犯这两类错误的概率都很小。但样本量不可能没有限制，否则就会使抽样调查失去意义。但对于一定的样本量 ，我们做不到犯这两类错误的概率同时都很小。一般只能把带来严重后果的一类错误作为首要的控制目标即可。

4.拒绝域检验的优缺点

上面进行检验的方法是根据检验统计量落入的区域作出是否拒绝原假设的决策。在确定显著水平 以后，拒绝域的位置也就相应确定了，其好处是进行决策的界限清晰，但缺点是进行决策面临的风险是笼统的。在上例子中，计算的 ，落入拒绝域，我们拒绝原假设，接受备择假设。这时犯弃真错误的概率为0.05。如果计算的 ，同样落入拒绝域，我们拒绝原假设面临的风险也是0.05。那么0.05是通用的风险概率，这是用拒绝域表示的弱点。

5.结束语

在实际问题的检验中，我们不可能对问题的背景都有所了解，如何提出假设，并没有统一的标准，假设的确定通常与所要检验的问题的性质，检验者所要达到的目的有关系，也与检验者的经验和知识水平有关。

另外，通常在假设检验中把希望证明的命题放在备择假设上，而把原有的、传统的观点放在原假设上，这样我们的目的就是希望能够用事实原假设，而接受备择假设。由于原假设需要检验统计量落入拒绝域，所以在一次实验中原假设是具有优势的，由小概率原理，备择假设在一次实验中不容易出现，但一旦发生，我们就有充分的理由原假设，这意味着新结论的诞生。但是没有拒绝原假设，并不意味着备择假设是错误的，只是说还没有足够的证据证明原假设不成立。所以说我们接受备择假设一定意味着原假设错误；没有拒绝原假设并不能表明备择假设一定是错的。

【参考文献】

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