几个正项级数判别法在证明调和级数敛散性中的应用

摘 要：本文从调和级数发散性质最初的证明思想出发，介绍了调和级数发散性证明的发展历程与多种证明思路。并利用了一些大学数学很难接触到的正项级数判别法给出调和级数发散性的几种罕见的证明方法，通过这些证明，使得对级数敛散性的学习和研究更有效。

关键词：调和级数；发散；正项级数

DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2016.03.241

1 调和级数的早期经典证明

高等数学中我们熟知的调和级数的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323-1382）在极限概念被完全理解之前证明的。他的方法很简单：

注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面级数的括号中的数值和都为，这样的有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收敛级数为基础的。令，他通过一系列演算得出A=A+1。显然没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。

2 利用几个正项级数判别法证明调和级数发散

而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。下面我们主要利用了一些大学数学很难接触到的正项级数判别法给出调和级数发散性的几种证明方法。

（1）利用积分判别法：设f为[1，+∞]上非负减函数，那么正项级数∑f（n）与反常积分同时收敛或同时发散。

证明：因为 在（0，+∞） 上非负且单调递减，且为发散的无穷积分 ，由积分判别法知发散。

（2）利用拉贝判别法：若是正项级数，， ，有（），则级数收敛（发散）。

证明：在调和级数中，，均有，所以调和级数发散。

（3）利用伯尔特昂判别法：设是正项级数，且

，若 ，级数收敛，

若 ，级数发散。

证明：对于调和级数，，所以级数发散。

（4）利用高斯判别法：设是正项级数，若 ，（，） ，则（1）当λ>1时，级数收敛；（2）当λκ，则级数收敛，若μ≤1，则级数发散。

证明：在调和级数中，，由高斯判别法知该级数发散。

（5）利用厄耳玛可夫判别法：若f（x）为单调递减的正值函数，且，则当λ1时，级数发散。

证明：令，x>0，则，

故级数发散。

3 结束语

当然对于调和级数的一般证明方法有很多，例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。

参考文献：

[1]张永利.对调和级数性态的研究 [J].高等数学研究，2005（08）：16-17.

[2]姜洪文.对于调和级数的分析[J].沈阳师范学院院报，2002（07）：170-172.

[3]张军学.关于调和级数发散性的几种证明方法[J].西安教育学院院报，2001（09）：31-40.

[4]黄永东.证明调和级数发散性的7种方法[J].西北民族学院院报，2001（03）：1-3.

作者简介：邵文凯（1982-），甘肃天水人，讲师，主要从事：数学教育。