重尾加权和一致尾等价关系下的破产理论

摘要:在重尾分布的条件下,随机变量独立,且分布不同,得到一致尾等价关系P(max1≤k≤n∑nk=1θkXk>X)~P(∑nk=1θkXk>X)~∑nk=1p(θkXk>X)并推导出几个具有乘积形式的等价性破产概论。

关键词:重尾;S簇;尾等价;加权和;破产概论

1、引言

在金融保险研究中,随机环境下破产概率的许多性质是由一致尾等价关系给出的,具体可见(3),(5),而重尾情况下的损失尤为值得我们关注,本文在前人的基础上,进一步研究了X1,X2,…,Xn独立但不同分布情况下,加权和一致渐近尾等价关系,并给出它在破产理论中的应用,下面介绍与本文有关的一些概念,并约定分布F(x)=P(X≤x)的非负随机变量X,其尾分布记为F(x)=F(x,∞)=1-F(x),所有的极限均指x∞。

如果一个非负的随机变量X或它的分布F(0,∞]使对任何r>0都成立,则称它的分布是重尾。

S簇:F满足limx∞F*(X)F(x)=N,对n≥2(或等价于n=2),其中Fn*表示Fn*的n重卷积, Fn*=1-Fn*(x)

L簇:F满足limx∞F(x+y)F(x) y>0(或等价于y=1)

R-α:F满足 limx∞F(xy)F(x)=y-α y>0 0≤α

R-∞簇:F满足limx∞F(xy)F(x)=0 y>1

两个正的无穷小量a(•)和b(•).如果limsupa(x)/b(x)≤1,且liminfa(x)/b(x)≥1同时成立,则记为:a(x)~b(x).称a(x,y)~b(x,y)是对y∈一致成立,若满足下式limx∞supy∈a(x;y)b(x;y)-1=0

2、重要的引理

引理2.1若分布函数F∈S,G∈0(F),则 G∈S

引理2.2设 , 是独立的随机变量X1,X2它们的分布函数分别为F1,X2。假如存在一个分布函数F∈S满足对i=1,2,都有Fi~kiF,ki>0则对任意固定的0x)+p(θx2>x)对θ[α,b]一致成立。2.3在引理2.2的条件下,则对任意固定的0x)+p(θ2x2>x)对θi∈[α,b]2一致成立。

引理2.4设x1,x2,…,xn是n个独立独立不同分布的非负随机变量,它们的分布函数分别为F1,…Fn,假设存在一个分布函数F∈S,满足i=1,2,…,n有FI~KiF,Ki>0,则对任意固定的0x)对θn[α,b]n一致成立。

证明:对于p(max1≤k≤nθkXk>x)≤∑nk=1p(θkXk>x)显然成立,利用概率不等式p(Unk=1Ek)≥∑nk=1p(Ek)-∑1≤K≠1≤np(EkEk)得p(max1≤K≤nθkXkx)-∑1≤K≠l≤np(θkXk>x,θlXl>x)≥∑nk=1p(θkXk>x)-∑1≤K≠l≤np(θkXk>x)p(θlXl>x)~∑nk=1p(θkXk>x)

3、主要结果

定理:在引理2.4的条件下,有p(∑nk=1θkXk>x)~∑nk=1p(θkXk>x)~p(max1≤k≤nθkXk>x)~∑nk=1kiF(Xθi)对θn∈[α,b]n一致成立。

证明:由引理2.4得出定理的第二个等价关系,最后一个等价关系可由Fi~KiF得到,下面采用数学归纳法证明第一个等价关系。

当n=2时,由引理2.3知,结论成立。

假设当n=m时,结论成立,即对ε>0,B1>0当x>B1时有(1-ε)∑mi=1p(θiXi>x)≤p(∑mi=1θiXi>x)≤(1+ε)∑mi=1p(θiXi>x)一致地θm∈[α,b]m成立。(1)

下面只需证明当n=m+1时,也有p(∑m+1i=1θiXi>x)~∑m+1i=1p(θiXi>x)(2) 一致地对θm+1∈[α,b]m+1成立即可。记p(∑m+1i=1θiXi>x)==I1+I2(3)

对I1,一方面由归纳(1)得I1

另一方面, I1

由引理2.1知Fi∈SL,故对上述ε>0, B2>0当x>B2时有(1-ε)p(θm+1xm+1>x)≤p(θm+1xm+1>x-B1)≤(1+ε)p(θm+1xm+1>x)(6)

由引理2.3知B3>0当x>B3时,对θm+1∈[α,b]m+1一致地有

p(θiXi+θm+1Xm+1>x)≥(1+ε)[p(θiXi>x)+p(θm+1Xm+1>x)],p(θiXi+θm+1Xm+1>x)≤(1+ε)[p(θiXi>x)+p(θm+1Xm+1>x)](7)

将(6),(7)式带入(4),(5)式得到,当x>max{B1,B2,B3}时,对θm+1∈[α,b]m+1一致地有I1≥(1+ε)2∑mi=1p(θiXi>x-2(ε-ε2)mp(θm+1

Xm+1>x)

有I1≤(1+ε)2∑mi=1p(θiXi>x+(ε+ε2)mp(θm+1Xm+1>x)(8)

对于I2,一方面由(6)式,

I2≤p(θm+1Xm+1>x-B1)≤(1+ε)p(θm+1Xm+1>x)(9)

另一方面对某个c>0,B4>0,x>B4,

p(θm+1Xm+1>x+c)≥(1-ε)p(θm+1Xm+1>x)从而,对θm+1∈[α,b]m+1一致地有

由(9),(10)两式,当x>max{B2,B4}时,对θm+1∈[α,b]m+1一致地有

(1-ε)p(θm+1Xm+1>x)≤I2≤(1+ε)p(θm+1Xm+1>x)(11)

将(8),(11)带入(3)式得,当x>max{b1,B2,B3,B4}时,一致地有

p(∑m+1i=1θiXi>x)≥(1-ε)2∑mi=1p(θiXi>x)-2(ε-ε2)mp(θm+1Xm+1>x)+(1-ε)p(θm+1Xm+1>x)及p(∑m+1i=1θiXi>x)≤(1+ε)2∑mi=1p(θiXi>x)+(ε+ε2)mp(θm+1Xm+1>x)+(1+ε)p(θm+1Xm+1>x)由ε的任意性,便得到(2)式对θm+1∈[α,b]m+1一致地成立,从而定理得证。

4、定理的应用

下面回归方程是在离散时间条件下,保险公司盈余情况。

S0=x,Sn=ξnSn-1+(ηn-Zn),n≥1(12)

其x中是初始资本, ηn和Zn分别表示到时刻 时的总保险费收入和总索赔,ξn是膨胀系数。取Xn=Zn-ηn,n≥1设{Xn,n=1,2…}是独立非负的随机变量序列,其分布函数分别为F1,F2…令Yn=ξ-1n,n≥1得,

S0=x,Sn=x∏ni=1ξi-∏nk=1Xk∏ni=k+1ξi,n≥1剩余Sn的折扣值为S0=x,S~n=Sn∏ni=1Yi=X-∑nk=1Xk∏ni=k+1Yi,n≥1(13)

在有限的范围内,破产概率表示为φ(x

由(13)式可得破产概率表示为:

φ(x

令θk=∏ki=1Yi,1≤k≤n,运用定理可得模型(12)破产概率公式如下:

推论:设(xn,n=1,2,…)是独立非负的随机变量序列,其分布函数分别为F1,F2,…对i=1,2,…n有Fi~KiF,Ki>0,则

1.如果F∈S,a≤ξk≤b,1≤k≤n,且 0

φ(x,n)~∑nk=1p(Xk∏ki=1>x)

2.如果F∈R-α,α≤ξk

3.如果F∈S⌒R-∞ α≤ξk≤b p(θk=θk)=pk>0 θ^=max{θ^:1≤k≤n},有φ(x,n)~F(Xθ^∑nk=1pk1θ-θ^), 其中1A表示A的示性函数。

(作者单位:安徽工商职业学院合肥财经职业学院)