一道全国大学生数学竞赛试题的推广

【摘要】受第七届全国大学生数学竞赛一道预赛试题的启发，研究形如AX=XB的矩阵方程只有零解的充分条件，将竞赛试题推广到更为一般的形式.

【关键词】大学生数学竞赛；矩阵；矩阵方程；特征值

【中图分类号】O151.2【文献标识码】C

【基金项目】河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目（2014GGJS-193）

一、引言

2015年第七届全国大学生数学竞赛（数学类）预赛试题第三大题：

设A为n阶实方阵，其n个特征值皆为偶数.试证明关于X的矩阵方程X+AX-XA2=0只有零解.

证明如下.

设C=I+A，B=A2，A的n个特征值为λ1，λ2，…，λn，则B的n个特征值为λ21，λ22，…，λ2n；

C的n个特征值为μ1=λ1+1，μ2=λ2+1，…，μn=λn+1；C的特征多项式为pC（λ）=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μn）.

若X为X+AX-XA2=0的解，则有CX=XB；进而C2X=XB2，…，CkX=XBk，…，结果0=pC（C）X=XpC（B）=X（B-μ1I）…（B-μnI）.注意到B的n个特征值皆为偶数，而C的n个特征值皆为奇数，故（B-μ1I），…，（B-μnI）皆为可逆矩阵，结果由0=X（B-μ1I）…（B-μnI）立得X=0.

受此启发，考虑一般的问题：方阵A与B满足什么条件时，关于X的矩阵方程AX=XB只有零解.

二、主要结论

定义1设A∈Pn×n，λ∈P，如果存在X∈Pn且X≠0，使AX=λX，则称λ是矩阵A的一个特征值，称X是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.

定义2设A∈Pn×n，λ∈P.矩阵λE-A的行列式

|λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n

λ-a21λ-a22…λ-a2n

λ-an1λ-an2…λ-ann

称为矩阵A的特征多项式，记为fA（λ）.

注fA（λ）是一个关于λ的n次多项式，其在P中的根即为矩阵A的全部特征值.

引理1[哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理]设A∈Pn×n，fA（λ）=|λE-A|是矩阵A的特征多项式，则

fA（A）=An-（a11+a22+…+ann）An-1+…+（-1）n|A|E=0.

注这表明矩阵A的特征多项式是矩阵A的零化多项式.

引理2设A∈Cn×n，B∈Cm×m，则fA（B）（fB（A））是m阶（n阶）可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A与B无公共特征值.

证设A的n个特征值为λ1，λ2，…，λn，B的m个特征值为μ1，μ2，…，μm，则

fA（λ）=|λE-A|n=（λ-λ1）（λ-λ2）…（λ-λn），

fB（λ）=|λE-B|m=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μm），

于是，fA（B）=（B-λ1E）（B-λ2E）…（B-λnE）.

注意到对任意1≤k≤n，有

|B-λkE|m=（-1）m|λkE-B|m=（-1）mfB（λk）=（-1）m（λk-μ1）…（λk-μm）=（-1）m∏mj=1（λk-μj），

故|fA（B）|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）.

因此，若fA（B）可逆，则

|fA（B）|m=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）≠0，

于是λi≠μj（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），从而矩阵A与B无公共特征值；反之亦真.

同理可证fB（A）是n阶可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A与B无公共特征值.（证完）

定理1设A∈Cn×n，B∈Cm×m，A与B无公共特征值，则矩阵方程AX=XB只有零解，其中X是n×m矩阵.

首先，X=0是AX=XB的一个解.其次，设X=X0是AX=XB的任一解，tAX0=X0B，于是A2X0=A（AX0）=A（X0B）=（X0B）B=X0B2，进而A3X0=X0B3，…，AkX0=X0Bk，…，（k∈N）.注意到A的特征多项式fA（λ）=λn+∑nk=1（-1）kbkλn-k，其中bk（k=1，2，…，n）是A的所有k阶主子式之和，于是有fA（A）X0=X0fA（B）.

由引理1知fA（A）=0，则X0fA（B）=0，又A与B无公共特征值，则由引理2知fA（B）是m阶可逆矩阵，于是X0=0.因此，矩阵方程AX=XB只有零解.（证完）

三、应用

解决第七届全国大学生数学竞赛（数学类）预赛试题第三大题.

矩阵方程X+AX-XA2=0可变形为（E+A）X=XA2，下面只要证E+A与A2无公共特征值即可.

注意到A的n个特征值皆为偶数，则A2的n个特征值皆为偶数，E+A的n个特征值皆为奇数，故E+A与A2无公共特征值.由定理1立得矩阵方程X+AX-XA2=0只有零解.