奏响“教”与“学”的和谐发展“旋律”

【摘 要】 全等三角形是初中数学学科，特别是初中平面几何部分重要组成内容，在锻炼和培养学生学习能力素养具有独特作用。本文作者根据新课标要求，就全等三角形章节教学中，使学生能够在教中学，在学中培树能力，形成技能，从利用全等三角形性质内容丰富性、抓住全等三角形问题解答多样性、借助全等三角形知识内涵综合性、巧解全等三角形问题典型性等四个方面进行了简要的论述。

【关键词】 初中数学；教学合一；全等三角形

众所周知，教学活动是教师向学生传授知识、锻炼能力、培树思想以及动手探究、创新思维的双向互动的发展过程。学生学习能力素养提升和形成的过程，就是教师的“教”与学生的“学”双向作用条件所发展和形成的过程。“寓教于学”、“寓乐于学”，是“教学合一”理念的生动体现。教学活动的最终目的就是将教师的“教”转化为学生的“学”，就是将学习能力进行实践锻炼，就是将学习过程变为能力提升、素养树立过程。新实施的初中数学课程标准提出，要将能力培养放在第一位，坚持“以生为本”，实现学生能力素养的锻炼和提升。因此，初中数学教师要改变传统教学中“灌输”为主的教学方式，而应在实际教学活动中，将教师的“教”与学生的“学”进行有机结合，使学生能在教中学，在学中培树能力素养。全等三角形作为三角形章节的重要“一环”，以其自身所具有的“数”与“形”的结合体，而且与相似形、圆与直线的位置关系等数学内容有着密切的联系，它在平面几何学科中占有重要地位。这也就为“教学合一”理念的实施和运用提供了丰富的“土壤”。

一、利用全等三角形性质内容丰富性，让学生在动手实践中领悟内涵

“实践是检验真理的唯一标准”。教育实践学认为，学生对亲手实践探究所掌握的知识内容，内心会留下深刻影响，运用也会更加自如。通过对全等三角形章节内容的分析发现，该章节概念、性质、判定等知识点内容较多，如全等三角形的判定方法，学生在掌握时，往往会出现“张冠李戴”、混淆判定方法的情况。因此，教师可以将传授全等三角形知识点内涵的过程，变为学生探究感悟的过程，让学生在动手实践中、领悟内涵要义。

如在教学“探索三角形全等的条件”教学中，教师在学生动手实践，感悟边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）以及直角三角形全等（HL）知识后，向学生提出：“有三个角对应相等的两个三角形是不是全等三角形”问题，引导学生进行问题探究活动，此时，学生进行作图（如图一所示）活动，教师让学生根据所作图形，分析所作的图形，学生经过探究分析发现，DE∥BC，ADE和ABC满足∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，但ADE和ABC并不全等。这样学生通过探究动手活动，对“有三个角对应相等的两个三角形并不全等”这一结论有了深刻而又准确的掌握。在此基础上，教师再向学生提出“有两边和其中一边对角相等的两个三角形是否一定全等”问题，让学生在此进行探究，这样，学生进而将探究活动经验解答所遇问题，有效提升了学生的探究效能。

二、抓住全等三角形问题解答多样性，让学生在探寻解法中创新思维

创新思维作为学生智力水平发展的重要标志，思维发散性、灵活性和创新性，是其主要内在特征。全等三角形章节内容，不管是全等三角形的判定，还是全等三角形变换等内涵，都包含了丰富的内在要素。如判定全等三角形全等时，就是五种不同的判定方法。这就为锻炼学生思维灵活性和创新性，提供了条件和载体。因此，初中数学教师在全等三角形问题教学时，可以抓住全等三角形内涵的丰富特性，建立不同等效的条件关系，引导学生进行探究，辨别各种判定定理之间的不同之处，从而为创新思维效能提升打下基础。

如在讲解全等三角形问题辅助线的添加方法过程中，教师先向学生展示了“已知如图二所示，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线。求证：BC=AC+AD”问题，然后师生共同分析问题，在共同分析过程中，学生发现，若延长CA到E，使AE=AD，要求证BC=AC+AD，只要证明BC=CE就行。而BC，CE分别在两个三角形中，这两个三角形有一条公共边，一组对应角相等，还差一组对应元素相等，两个三角形就全等。这时，学生认为，可以采用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，即可求得BC=EC，AE=AD相等的对应元素。此时，教师让学生添加辅助线，根据分析过程进行问题证明。教师在学生证明基础上，向学生提出，该问题是否还有其他方法作答。学生再次进行思考分析，发现该问题还可以采用补短法和截长法（即：①在AB上截取AE=AC，连结DE。图二（1）②延长AC到F，使AF=AB，连结DF图二（2）；③作DE垂直于AB，DF垂直于AC图二（3））。这样学生对添加辅助线解答全等三角形问题运用有了深刻掌握，同时，创新思维得到有效锻炼。

三、借助全等三角形知识内涵综合性，让学生在实际解题中形成素养

问题：在直角ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的任意一点，AECD于点E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB交点H，交AE与点G，求证：BD=CG。

上述问题是关于全等三角形的一道问题案例，学生在分析问题条件过程中，认识到，要证BD=CG，可以考虑证明BDF≌CGF，由已知∠F=∠CEG=90°，并且易证得∠DBF=∠GCE，此时只需要证明两个三角形中有一边对应相等即可。这时，教师引导学生进行观察、分析活动，学生通过观察图形，知晓BF与CE分别在BCF和CAF中，并且由已知条件易得到BCF≌CAF，而BF与CE正好是这两个三角形的一组对应边，从而得出问题证明。这时，教师让学生根据分析过程，书写证明过程（略）。

师生进行问题求证总结：本问题案例综合运用了全等三角形性质及其识别方法等知识，其中两次运用到全等三角形的性质及其识别方法是本题地重点，也是解题的关键。在进行证明活动时，可以先证明一对三角形全等，得到一对线段或角相等，为后面证明另一对三角形全等打下伏笔。

从上述教学活动中，可以看出，该问题设计的知识点内涵丰富，解题形式多样，教师在进行该问题解答时，将问题解答的时机留给学生，把问题解答的过程变为探究、分析、思考、总结的过程。学生在此过程中，通过借助综合性的全等三角形问题案例，运用数形结合思想以及分类讨论思想解答问题，从而实现了学生对问题解答方法的有效掌握，为学生解题思想形成提供了平台。

四、巧解全等三角形问题典型性，让学生在评析中巩固提升

问题：如图所示，F是BC的中点，且DFBC，DF交BAC的外角平分线AD于D， F为垂足， DEAB于E，且AB>AC，求证：BE－AC=AE．

证明：过D作DNAC， 垂足为N， 连结DB、DC。

则易证得DN=DE，DB=DC，又DE

AB， DNAC，RtDBE≌RtDCN，BE=CN，又AD=AD，DE=DN，RtDEA≌RtDNA，AN=AE，BE=AC+

AN=AC+AE，BE－AC=AE。

这时，教师利用评价教学手段的指导和促进功效，引导学生组成评价小组，对问题解答过程进行评析活动。学生在评析活动中，认识到该问题是一道全等三角形的综合性应用问题，在解答该问题过程中，通过抓住全等三角形、直角三角形等知识点内涵，通过建立等量关系，证明RtDBE≌RtDCN，同时，利用“BE=AC+AN=AC+

AE”等量替换，得出“BE－AC=AE”这一结论。同时，学生根据解题过程，还认识到，该问题解答过程中，运用了数形结合和等效思想等解题理念。这样，学生在探究辨析中，既巩固了所学知识，又养成了良好解题习惯，更培养了正确的解题思想。

总之，“教”与“学”的完美“合一”需要师生之间的努力。初中数学教师要在任何知识点教学中，利用学科特性，凸显主体地位，创新教学手段，让学生在“教中学”，在“学中升”。