利用变式训练提高解析几何的复习效率

高考真题 （2015年高考全国新课标卷二理科卷第20题）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.

思路探究 证明第（Ⅰ）问时，我们可设出直线l的方程，求出点M的坐标，然后利用斜率公式来解决.解答第（Ⅱ）问时，我们可利用第（Ⅰ）问求出的直线OM的方程，求出点P的横坐标，再判断线段OP与线段AB是否能互相平分即可.

参考答案 （Ⅰ）证明：设直线l的方程为 y=kx+b（k≠0，b≠0），将 y=kx+b代入9x2+y2=m2中，消去y并整理得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0.设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），点M的坐标为（x0，y0），则有x0==，y0=kx0+b=，于是可知直线OM的斜率kOM =-，所以kOM・ k=-9.

故直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）解：结合对椭圆图形的分析，可知直线l的斜率k>0，k≠3，并由（Ⅰ）可得直线OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x3，联立y=-x，9x2+y2=m2，得x23=，则有x3=.将点（，m）的坐标代入直线l的方程，得b=，所以点M的横坐标x0=.若四边形OAPB为平行四边形，则其对角线互相平分，所以有x3=2x0，于是有=2×，解得k=4-或k=4+，均满足k>0，k≠3.

故当直线l的斜率为4-或4+时，四边形OAPB为平行四边形.

变式训练1 已知椭圆C：x2+=1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）若点M的坐标为（，），求直线l的方程.

（Ⅱ）若l过点（1，3），延长线段OM与C交于点P，能否满足+=？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由.

变式由来 点差法适用于中点弦问题.已知中点的坐标，我们可求弦所在直线的斜率，还可以运用向量表达式来表述几何图形的性质.

解答过程 （Ⅰ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则有x21+=1， ①x22+=1. ②

由①-②，得x21-x22=-（y21-y22），即=-・（），所以有kAB =（-9）×=-3.

故直线l的方程为y=-3（x-）+，即3x+y-3=0.

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）+3（k≠0），且直线l不过原点O，可知k≠3.联立y=k（x-1）+3，x2+=1，消去y并整理得（9+k2）x2-2k（k-3）x+（k2-6k）=0.要使直线l与椭圆C有两个交点A，B，则Δ=4k2（k-3）2-4（9+k2）（k2-6k）>0，解得k>0.所以，直线l的斜率k>0且k≠3.

设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），点M的坐标为（x0，y0），则有x0==，y0=k（x0-1）+3=k[-1]+3，即y0=.若满足+=，又+=2，所以点P的坐标为（2x0，2y0）.又点P在椭圆上，所以有（2x0）2+=1，即36x20+4y20=9，于是有36[]2+4（）2=9，整理得k2-8k+9=0，解得k=4±，满足k>0且k≠3.

故当直线l的斜率为4-或4+时，满足+=.

变式训练2 已知双曲线C：-y2=1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）若l与C的两个交点A，B位于双曲线的同一支，连接线段OM与C交于点P，APB能否为等腰三角形？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由.

变式由来 椭圆中的性质在双曲线中也能类比获得.

解答过程 （Ⅰ）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则有-y21=1， ①-y22=1. ②

由①-②，得x21-x22=2（y21-y22），即=2・（），也就是=2kAB，所以kOM・kAB =.

故直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）据题意可知，A，P，B三点均在双曲线的同一支上，且点P位于A，B之间，所以|AB|>|PA|且|AB|>|PB|.若要APB为等腰三角形，则应有 |PA|=|PB|，又PM为APB的边AB上的中线，所以有PMAB.又由（Ⅰ）可知kOM・kAB=，即kPM・kAB =，所以PMAB不成立.

故APB不能为等腰三角形.

反思 做题是为了进一步掌握与巩固基础知识和基本方法，并不断积累经验，从而提升自己各方面的能力.因此，我们要勇于探究，以寻求题中条件与所学知识之间的联系；要勤于反思，以弥补自己的不足，并巩固学到的新的思想方法；要善于变通，以达到举一反三、融会贯通的目的.当每解答一道题时，我们都能实施上面的三个步骤，那我们就由“题海”的奴隶变成了“题海”的主人，由被动接受变成了主动获取，同时就会成为一个有自己思想的学习者，学习的效率就会大大提高.

（责任编 周峰）