旋转中心在直线上运动的问题

旋转变换是三大变换中的难点，也是近年来中考命题的热点.通过整理发现，旋转相关的中考题中，有一部分是旋转中心在直线上运动的.本文以此为切入口，通过让学生动手画图，探究发现，当旋转中心在直线上运动时，旋转的方向和角度保持不变，旋转后的图形呈直线平移这一规律.并将这一规律加以运用，提高旋转的应用能力.

一、在操作中梳理知识，发现规律

问题1：在平面直角坐标系xOy中，ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的。

分析：（1）旋转的三要素是什么？（旋转中心、旋转方向、旋转角度）（2）画图时，运用了旋转的哪些性质？

设计意图：通过问题1的操作，梳理旋转的相关性质，找到旋转后不变的量，即图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角度相等.

变式：在上题坐标平面中分别以（0，2），（0，4）为旋转中心按逆时针方向旋转90°.画出，旋转后的这些三角形有什么关系？

分析：（1）这题和前面问题1什么是相同的，什么是不同的？（2）旋转后的图形有什么关系，你可以提出什么猜想？

小结：当旋转中心在直线上移动时，旋转方向和旋转角度保持不变，所得的图形之间可以通过平移得到.

设计意图：通过画图，比较分析，提出猜想：当旋转中心在直线上移动时，旋转方向和旋转角度保持不变，旋转后的图形呈直线平移.通过几何画板的操作可以验证这一规律.

二、在解题中巩固知识，提高能力

问题2：已知二次函数y=x-4交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D点坐标（0，2），动点P在线段DO上从D到O运动，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，求点A的对应点A′移动的路径长.

分析：（1）当点P在点D时，点A′在哪里？（在点B处）当点P在点O时，点A′又在哪里？（0，-2）（2）点A′移动的路径是什么图形？（线段）

设计意图：通过确定旋转中心的起点和终点确定A’的路径，即线段的两个端点.从而概括出利用起点和终点确定路径的方法.

变式：若点P在y轴上，线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点A’和点P的坐标.

分析：（1）当点P在y轴上运动时，点A′是怎样运动的？（呈直线平移）（2）求A’所经过的直线可以用两个特殊点（2，0）（0，-2）求得，求出直线与抛物线的另一交点（1，-3）后，求点P的坐标可以先求AA’的解析式，再求AA’中垂线的解析式，最后求中垂线与y轴的交点即可.

设计意图：（1）旋转中心由在线段上变成在直线上，从而确定点A’的运动路线也由线段变成直线，这样就可以非常准确地画出图形确定点，然后用解析法求点的坐标.（2）问题一发现的规律加以运用，让学生感受发现规律的价值.

问题3：已知二次函数y=x-3交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若点P在线段AC上，从点C到点A移动，移动速度为1，时间为t.将OBC绕点P顺时针旋转60°得到O’B’C’.

（1）若点P在点C上，求点O’的坐标.

（2）当t为何值时点O’落在线段BC上？

（3）若O’B’C’与ABC重叠部分面积为S，求S关于t的函数解析式.

分析：（1）如图（1），当点P在C点时，借助圆规和三角板画出图像.当点P在A点时，O’又在什么位置？（AC的中点）O’B’C’随着点P的运动是怎样运动的？（从右向左平移至点B’与点C重合为止.）

（2）当t为何值时，O’落在BC上？方法一：如图（2），O’的纵坐标为-，代入BC的解析式可求得O’的坐标，再求OO’中垂线与AC的交点，即可求出t的值.方法二：如图（3）易得O’CB’为等边三角形，可得O’为BC的中点.方法三：如图（3），也可证OPO’为等边三角形.方法四：如图（1），从匀速平移的路径来看，点O’落在BC上时，刚好为平移总路径的一半，因此点P平移的时间也是总时间的一半.

（3）在P点运动过程中，O’B’C’与ABC重叠部分是怎样变化的？（从三角形到梯形）重叠部分的面积S关于t的函数解析式要分段讨论.

当0≤t≤时，如图（4），易知DCE为直角三角形，S=×t・t=t；

当≤t≤2时，如图（5），重叠部分为梯形，S=-t+3t-.

设计意图：（1）让学生认清图形旋转是由点的旋转组成的，即图形旋转之根本是点的旋转.（2）通过旋转中心在线段上运动，找到O’的平移路径.从而可以判断O’B’C’的平移方向和路径.（3）发现当旋转角等于60°时，对应点连接旋转中心后可以得到等边三角形.（4）在旋转特殊角度时，要充分运用三角板、圆规作出图形.（5）运用整体思想，引导学生认清旋转后图形的运动路径，然后根据路径求解一些特殊情况的值.

本文由旋转的操作入手，在规定旋转中心在直线上运动，旋转方向和角度不变的情况下，发现旋转后的图形呈直线平移的规律.然后从点的旋转出发，到三角形的旋转，并且把三角形的旋转归结为点的旋转，体现转化思想.旨在激发学生发现规律的热情，培养学生学习数学的兴趣.