“∑”求和图象意义的挖掘及创新思维

在如图1所示的v-t图象中，我们知道，∑Δt的图象意义为t1至t2的一段长度，即∑Δt=t2-t1，∑Δv的图象意义为v1至v2的一段长度，即∑Δv=v2-v1，∑vΔt的图象意义为v-t图线跟横轴之间所围的面积的值（意义是位移），即∑vΔt=s1.与此类似，∑IΔt=q（I为电流强度，q为电量），∑FΔs=W（F为力，s为位移，W为功），∑pΔt=W（p为功率，t为时间，W为功）等等.但我们是否考虑过∑tΔv的意义、∑tΔv与∑vΔt之间的关系以及其关系的应用，是否考虑过∑I2Δt的图象意义（I为电流强度）、正弦交流电的有效值在图象中的意义以及正弦交流电的有效值为什么是最大值的SX（]KF（]2KF）]]2SX）]，而不是平均值？这就需要我们有创新思维的意识，善于发现和提出问题，善于解决问题.下面谈谈我们在教学过程中，就∑求和的问题举两个有关创新思维过程的案例.

案例一：∑tΔv的图象意义、∑tΔv与∑vΔt之间的关系及应用

（1）问题的由来

人教版教材《高中物理选修3-2》第四章第2节“问题与练习”中的第7题如下：

如图2所示，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN沿框架以速度v向右作匀速运动.t=0时，磁感应强度为B0，此时MN到达的位置恰好是MDEN构成一个边长为L的正方形.为使MN棒不产生感应电流，从t=0时刻开始，磁感应强度B应怎样随时间t变化？请推导这种情况下B与t的关系式.

学生在刚学过产生感应电流的条件后，知道要使MN棒中不产生感应电流，就得使穿过闭合导体回路的磁通量不变.根据这一点，很快就能得出正确结论.但是学过了《电磁感应现象的两类情况》这一节内容后，学生知道MN棒中不产生感应电流这是因为动生电动势和感生电动势大小相等，方向相反，总的电动势为零，所以感应电流为零..规定回路中逆时针方向为感应电动势的方向，有

根据积分可以推导出B与t的关系式，能否将（1）式变形，由∑求和求出B与t的关系式呢？

（L+vt）ΔB+BvΔt=0JY]（2）

两边累和求解，有

根据前面所述，可知

但∑tΔB与∑BΔt表示什么意义呢？它们之间有什么关系呢？如果我们知道∑tΔB+∑BΔt为多少，就能求出B与t的关系式了.这就迫使我们去思考问题.

（2）∑tΔv的图象意义、∑tΔv与∑vΔt之间的关系以及应用

由图1可知，∑tΔv的图象意义实际上是v-t图线跟纵轴之间所围的面积S2，

我们可以把∑vΔt+∑tΔv=v2t2-v1t1推广到∑BΔt+∑tΔB的求解中.显然，

因此（3）式可写成

将原题改为：为使回路中的产生的电动势恒为E，方向为逆时针方向，从t=0时开始，磁感应强度B应怎样随时间变化？请推导这种情况下B与t的关系式.

我们能根据下式求解，有

（6）式两边同乘以Δt，累和求解有

案例二：∑I2Δt的意义、有效值的图象意义及应用

（1）问题的由来

关于电流的有效值，人教版教材《高中物理选修3-2》第五章第2节是通过“思考与讨论”引入的：

如图3所示，是通过一个R=10 Ω的电阻的电流随时间变化的曲线，这个电流不是恒定电流.

①怎么计算通电1 s内电阻R中产生的热量？

②如果有一个大小、方向都不变的恒定电流通过这个电阻R，也能在1 s内产生同样的热量，这个电流多大？

通过思考与讨论，给出了有效值定义：让交流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交流的一个周期内产生的热量相等，这个恒定电流是I、电压是U，我们就把I、U叫做这个交流的有效值.接着就给出了正弦式电流的有效值与最大值（峰值）之间的关系：

教师也许会强调计算热量时用有效值，计算电量时用平均值.尽管这样，学生对有效值为什么不等于平均值总是存在疑惑.能否用图象把有效值和平均值的意义区分开来呢？

（2）∑I2Δt的图象意义、有效值意义及应用

∑I2Δt乘以电阻R，得∑I2RΔt，显然是电阻R上产生的热量.

为了讨论的方便，我们首先设定I为恒定值，建立坐标系，如图4所示.I2t的意义显然是以底面积为I2（边长为I的正方形），高为t的柱体的体积.

在此基础上，假定电流I是变量的情形.假定i与t成正比关系变化（最简单的变化电流），如图5所示.

∑i2Δt是由许许多多的以边长为i的正方形为底面积，高为Δt的柱体体积的累和，即正四棱锥OABCD的体积.设有效值为I，则以I为边长的正方形为底面积，高为t的柱体的体积应等于该锥体的体积.

锥体的体积V1=SX（]1]3SX）]I2mt，

HJ1.6mm]柱体的体积V2=I2t，

由v1=V2可得有效值I=SX（]KF（]3KF）]]3SX）]Im.

而I的平均值为AKI-]=SX（]1]2SX）]Im，显然I≠AKI-].

根据以上的方法，我们可以讨论正弦式电流在一个周期内的有效值I和平均值.

由图6可知，∑cos2ωtΔt实际上是x=cos2ωt图线与t轴所围的面积的值.t轴上方的面积为正，t轴下方的面积为负，由对称性可知，在一个周期里，

I2T（I为正弦式电流的有效值）的图象意义是以边长为I的正方形为底面积、T为高的柱体的体积.由于通过电阻R产生的热量相等，所以有

即有效值I=SX（]Im]KF（]2KF）]SX）]=0.707Im.

正弦交流电在一个周期内的平均值可以仿照∑cos2ωtΔt.在一个周期内，

所以平均值

正弦式电流的∑i2Δt的图象意义和有效值的关系如图7所示.JY]

KH-1]电流的有效值的图象意义是许许多多柱体的底面积（均为正方形）的平均值（为正方形）的边长，即

而电流的平均值=SX（]∑iΔt]∑ΔtSX）].

在教学中，大家都在谈创新思维，实际上创新思维就在我们平常的教学中.