重视数据分析 培养随机观念

在小学进行“可能性”教学，可以帮助学生积累随机活动经验，增强随机活动体验，初步建立随机观念，改善思维方式。在听课过程中，笔者发现：教师比较重视实验活动，组织学生通过多次实验（如摸球等）体会随机性，但对实验数据缺少必要的分析，未能借助及时的数据分析，帮助学生准确理解“可能性”的深刻内涵。有的教师缺乏本体知识，或不敢分析，或不会分析，或胡乱分析；有的教师只作简单、笼统、肤浅的分析……致使学生的认识停留在表层，未触及本质，“可能性”的教育意义被大打折扣。为此，笔者建议：重视数据分析，培养随机观念。

一、 通过数据分析，不断体会随机性

随机性是一个非常重要的概念，理解它的丰富内涵不但要多做实验，而且要多收集和分析实验数据，帮助学生深刻体会“可能性”的含义，增强感性认识。如苏教版教材在刚教学“可能性”时，设计了这么一个实验：一个口袋里有3个黄球和3个红球，从中任意摸一个，会摸到什么球？学生凭经验和直觉会猜到：可能会摸到黄球，也可能会摸到红球。真的会是这样吗？于是，教师引导学生通过分组实验来验证，每人摸10次。学生实验后发现：两种球都可能摸到，每次摸到的结果是不确定的。笔者认为，在实验前，教师还应启发学生各自猜测：如果每人摸10次，你能确定第几次摸到黄球吗？你能确定共有几次摸到黄球吗？学生带着猜想进行实验，会更有思考和兴致。实验时要求学生把摸到的结果一一记录下来，实验后学生先把结果与猜想进行对照，再在组内汇总，继续进行观察、比较和体会，最后全班汇总，对总结果再进行观察、分析和体验。这样，学生会对随机性的一大特点――“必然中的偶然”有更全面和更深刻的认识。笔者把其中一组的实验结果收集、展示如表1。

学生通过观察、比较和分析上述结果，感悟到：从每名学生的实验结果看，尽管都摸到了黄球，但不能确定其在第几次摸到黄球，也不能确定其共有多少次摸到黄球，而且每名学生的摸球结果几乎都不一样；从全组的实验结果看，每次都有学生摸到黄球，每次摸到黄球的人数也不尽相同，而且每次摸到的情况也不一样……从中具体体会“可能性”的深刻含义，体会随机性。

为了强化学生的认识，笔者还把全班的实验数据汇总成如表2：

表2 第几次摸到黄球的人数统计表

学生通过观察、分析和比较表中数据得知：尽管对每名学生来说，在实验前不能确定第几次摸到黄球，但对全班来说，每次都有学生摸到黄球，而且每次摸到黄球的人数也不尽相同，多在全班人数的一半附近。

表3 一共摸到黄球次数的人数统计表

学生通过观察、分析和比较表3中数据得知：尽管每个学生都摸10次，但在实验前不能确定其共有多少次摸到黄球。

这样，学生对随机性的一大特点――“必然中的偶然”就会有更全面、更丰富和更深刻的认识，从而为初步建立随机观念打下较为坚实的基础。

二、 通过数据分析，不断体会等可能性

可能性相等，游戏才公平。等可能性是指机会的相对平等。正因为有“等可能性”，可能性才可以用分数表示，从而实现可能性由定性描述向定量刻画的过渡。但对小学生来说，从过去结果相等的绝对公平到现在机会相等的相对公平，理解起来何等艰难！为此，在教学这部分内容时，不但要多做实验，而且要多分析实验数据，多借助图形表示数据，使学生形象地理解相对量相等的内涵。

如苏教版教材在教学“游戏的公平”时，也安排了上述摸球实验。在《教师用书》上对这部分内容给出的教学建议是：在经历不公平的游戏之后， “让学生根据例题要求设计公平的游戏，使口袋里的红球与黄球个数同样多，再摸球并作记录，看看每种球摸到的次数是不是差不多，是谁赢了。接着反复做几次游戏，使学生看到双方都有赢的机会，赢的次数也比较接近，确信这样的游戏规则是公平的”。笔者认为，在此基础上，还要收集和分析实验数据，并把数据制成图形，从而帮助学生深刻体会“等可能性”的含义。实验后，笔者有意识、有次序地请学生分别收集、汇总每人摸10、40、120、240次时的实验数据（可以把多人实验数据的和作为1人的实验数据），并用图1表示出来：

引导学生分别把各个实验数据与图中的半数进行比较，通过不断分析、比较和推理，逐步发现：在同一条件下，独立地、重复地做同样的实验，当实验次数较少时，摸到红球和黄球的机会波动性比较大；当实验的次数越来越多时，波动性越来越小，越来越接近于实验次数的一半。为了进一步形象地说明“等可能性”的含义，笔者又出示几位著名学者抛硬币所得到的数据，并用图2表示出来：

引导学生通过不断观察、比较和分析图中实验数据，逐步发现：随着试验次数的不断增多，正面和反面朝上的可能性会逐渐稳定在实验次数的一半的附近。这里的相等，原来就是指机会不断逼近实验次数的一半的过程。

把数据制成图形，便于学生形象地理解“等可能性”的深刻内涵，准确地把握随机事件的另一特点――“偶然中的必然”，顺利地实现从过去结果相等的绝对公平到现在机会相等的相对公平。学生从中能更真切地体会到实验数据虽有随机性，但也有必然性，而且从总体上看，试验的次数越多，必然性越明显。

三、 通过数据分析，不断体会规律性

苏教版教材把“用分数表示可能性的大小”安排在六年级。教材中有这样一题：在一个袋中，有3个红球，2个黄球，从中任意摸一个球，摸到红球的可能性有多大？学生通过计算认为摸到红球的可能性是■，即概率是■。许多教师认为学生已学会量化表示，达到了教学目标，教学便告结束。笔者认为，教师不应只让学生“一算了之”，还应引导学生通过实验，体会数据的随机性和规律性，帮其准确理解“■”的深刻内涵。在学生计算之后，笔者是这样处理的：先要求每人做10次试验，算出每人摸到红球的次数占总次数的比，并与摸到红球的概率比较，再在组内和全班交流，仍与摸到红球的概率进行比较。全班交流时，笔者引导学生发现摸到红球的次数从十分之一到十分之九都有，而且每名学生摸到红球的次数也不尽相同，进而发现：在试验次数较少时，摸到红球的次数占摸球的总次数的比与概率有较大的差距，而且波动性大。

接着，笔者启发学生深思：假如每人实验的次数逐步增加，结果会怎样呢？引导学生把同组6人的实验数据进行合计，算出本组摸到红球的次数占摸球总次数的比，并与摸到红球的概率进行比较，看看有什么发现，从中体会数据的随机性和规律性。待各组一一汇报并与概率分别比较后，笔者再次引导学生把各组的实验数据逐步累计，直到算出全班摸到红球的次数占摸球的总次数的比，并与摸到红球的概率依次进行比较，从中进一步体会数据的随机性和规律性。笔者现把两次统计结果汇总成表4（全班48人，平均分成8组）：

学生通过观察、比较和分析表中数据，逐步发现：摸到红球次数占摸球的总次数的比随实验次数的相同或不同而变化，是不确定的，有较大的随机性：当实验次数较少时，摸到红球次数占摸球的总次数的比的波动性比较大，但从总体上看，随着摸球的次数的不断增加，摸到红球的次数占摸球的总次数的比逐步趋向稳定值，越来越接近，呈现出一定的规律性，但不排除特例。笔者还引导学生合情推理：假如试验的次数无限增大时，从总体上看，摸到红球次数占总次数的比会怎样？学生很自然地推想到：会越来越逼近摸到红球的概率，但也不排除特例。

笔者认为，在“可能性”的教学中要多进行类似的实验和分析，要使学生的认识逐步从表面走向内在，从肤浅走向深刻，从感性走向理性。学生从中能初步学会数据分析的方法，切实感悟到数据中既有随机性，又有规律性，数据是有力量的，进行数据分析是有价值的，从而喜爱收集数据，乐于分析数据，并善于运用数据推测，逐步培养数据分析观念和随机观念，学会用概率的眼光看世界。