关于“函数的几何性质”的几点说明

摘 要： 函数的几何性质，是从数形结合的角度研究的.由于多种教材概念的不统一，部分学生对概念把握不准，解题过程存在误区.针对这种情况，本文对函数的几何性质――单调性、有界性、奇偶性和周期性，做若干补充说明.

关键词： 函数 单调性 有界性 奇偶性 周期性

函数，是高等数学的主要研究对象.函数的几何性质，是从数形结合的角度研究的.从高中数学到高等数学的过渡，学生必然首先接触函数及其性质.由于大学数学教材和中学数学教材面向的对象不同，对一些概念的叙述就存在一定的差别.对经历过高考的大学生来说，其应该对这些概念有一个宏观的把握，也可以结合“整体与局部”等哲学概念，对抽象的数学知识做一个概括的总结.而对高职高专的学生来讲，在不影响正确解题的前提下，概念要尽量简单、明了.

笔者根据多年的教学经验，参考大多数高职高专类学生熟知的教材，选用比较科学的定义，对函数的四种几何性质――单调性、有界性、奇偶性和周期性，做补充说明.

一、函数的单调性

定义1：设函数f（x）在区间I上有定义.对于I中的任意两数x■，x■，当x■

1.单调性是函数在某个区间上的性质，是局部的.

这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域内部的某个子区间.若函数f（x）在整个定义域D上都满足x■

但是一般的函数在整个定义域上并不单调.此时，我们通常讨论函数的单调区间，即函数在每个定义区间上的单调性.例如，f（x）=x■-3x，在区间（-∞，-1）和（1，+∞）内单调递增，在区间（-1，1）内单调递减，在整个定义域（-∞，+∞）上不单调.

中学数学中的常见题型是讨论已知函数在某个区间上的单调性，而高等数学多是求已知函数的所有单调区间，讨论函数在整个定义域上的单调性，通常利用导数法来求.

2.各单调区间不能写成并集.

在用导数法求出函数的单调区间后，通常把几个单调性一致的区间并列写出来，用逗号或者“和”字连接，一般不能写成并集.

例如，f（x）=x■-3x的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），不能写成（-∞，-1）∪（1，+∞）.若不然，取x■=-■，x■=■∈（-∞，-1）∪（1，+∞），且x■f（x■），矛盾.

3.每个单调区间一般写成开区间形式.

函数在某一点不具有单调性，在单调区间端点的取值、是否有定义，都不影响区间内部函数的单调性.

初等函数在各个定义区间内都是连续的，在端点处若有意义，必左连续（或右连续）.此时，单调区间可以随之写成闭的.

例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），可以写成（-1，1]，[-1，1），或[-1，1].

对于某些非初等函数，例如，f（x）=x■，x≠0，1，x=0.在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增.虽然在x=0处有定义，但是两个单调区间都不能包含端点.

为避免此类错误，在没有严格要求的情况下，笔者建议单调区间统一写成开区间.

4.单调区间不能写成点的集合.

例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），不能写成{x|-1

二、函数的有界性

定义2：设函数f（x）在区间I上有定义，如果存在正数M，对任意的x∈I，总有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在区间I上有界，并称f（x）为区间I上的有界函数.否则，称函数f（x）在区间I上无界.

有界性是函数在某区间上的性质.有些函数在整个定义域内有界，例如，f（x）=sinx在定义域（-∞，+∞）内满足|sinx|≤1，是有界的.但有些函数只在某个区间内有界，例如，f（x）=e■在区间（-∞，0）内有界，但在定义域（-∞，+∞）内无界.一般来讲，连续函数在闭区间上是有界的.

函数的无界性可以用有界性的逆否命题来刻画，如下：

设函数f（x）在区间I上有定义，如果对任意的正数M，都存在一个x∈I，使得|f（x）|>M，则称函数f（x）在区间I上无界.

函数的单调性和有界性是函数在某个定义区间上的性质，都是局部的性质.

三、函数的奇偶性

定义3：设函数f（x）的定义域D关于原点对称.如果对任意一个x∈D，总有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则称函数f（x）为D上的偶函数（或奇函数）.否则，称为非奇非偶函数.

这里的D是函数的定义域，有的教材也说“设函数f（x）在对称区间D上有定义”，但这是不严谨的.因为有些函数的定义域只是一些离散的点的集合，并不能构成区间.

例如，函数y=■.

奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是整体的.要求定义域D必须关于原点对称，这是函数成为奇函数或偶函数的必要条件.否则，函数为非奇非偶函数.

四、函数的周期性

定义4：设函数f（x）在D上有定义，如果存在非零常数T，使得对任意一个x∈D，总有x+T∈D，并且f（x）=f（x+T），则称f（x）为周期函数，T为这个函数的周期.若所有周期T中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期.

有些中学教材给出的定义中，要求T为正数，一般高等数学只要求为T非零常数，可正可负.由于中学与大学教材定义不一样，对周期函数的定义域与周期理解就存在异议.按照一般大学数学教材，我们可以得到关于周期函数的结论：（1）定义域双侧无界.（2）周期T，有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期.此时周期函数的性质可变为：

（1）若T是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期；

（2）若T是f（x）的周期，则kT也是f（x）的周期，其中k是非零整数；

（3）若T■、T■是f（x）的周期，则T■+T■也是f（x）的周期；

（4）若T是f（x）的最小正周期，则f（x）的所有周期组成的集合为{t|t=kT，k∈Z，且k≠0}；

（5）若f（x）是周期函数，则f（x）的定义域一定是双侧无界的.

周期性是函数整个定义域上的性质，是整体的.这里要求定义域D必须是双侧无界的.在一般高职高专的数学教材中，所列周期函数都是三角函数.

奇偶性和周期性都是函数在整个定义域上的性质，是整体性质.

函数的单调性反映了函数图像的走势（上升或下降）；有界性体现的是函数值取值范围的有限性；奇偶性反映了函数的对称性（关于纵轴或者原点对称）；周期性体现了函数的重复性.其中，单调性和有界性是函数在某个区间上的局部性质，而奇偶性和周期性则是函数在整个定义域上的整体特征.从宏观上把握函数的几何性质，有利于数学思维的形成，也能顺利准确地解决一些实际问题.

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郑州城市职业学院教学改革重点项目“高职数学分层次教学的研究与实践”（院科外〔2013〕6号）。