圆周率的性质

摘要：圆周率 带着它的奥秘从书本的公式中走出，向已经习惯了“ =3.14”的我们展示它的神奇魅力与强大的功能，例如看似无限不循环的 值中蕴藏的规律、计算机技术发展的强大助推力。本文主要介绍圆周率 性质，以此来带领大家一步步揭开 的面纱，感受它的魅力。

关键字：圆周率 性质 值

1、 是无理数

无理数最早是由古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯（约公元前5世纪）发现的。他发现边长为1的正方形的对角线（ ）不是有理数，即不能用任何两个整数的比表示，是无限不循环小数。当时叫“没有比”或“不能表达”，后来叫“不可通约量”。

而对 的无理性的证明是由德国数学家Lambert在18世纪给出的。1794年，法国数学家Legendre（1752～1833）在巴黎出版了《初等几何》一书。此书对Lambert的不严格证明予以补证，从而给出了 和 是无理数的严格证明。

以下，是用反证法比较简洁地证明 是无理数。

假设 是有理数，令 ，其中 均是整数且 。对于任意自然数 ，构造多项式 。

现令 ，即 ，则 显然是一个 次整系数多项式，它的最低次项为 ；又有 ，其中 和 分别表示 和 的 阶导数。

对 求 阶导，当 时， ，即 ；当 时， 为整数，即 为整数，此时 必为整数。因此，对任意 ， 总是整数。

又因 ，不难看出 ，可知 ，从而 ，因此， 也总是整数。

从 出发，再构造一个多项式：

，

不难看出 。因为 在 和 时均为整数值，所以 和 也都是整数。

现在有 ，所以，根据微积分基本定理，

也是一个整数。

但在另一方面，对于 ，有不等式

。

显然当 时， 。所以当一开始就把 取得充分大，使得

，

则得相应的积分值 ，说明 不是整数，这与（3）矛盾。

因此， 是一个无理数。

2、 是超越数

Legendre在证明 是无理数的同时，提出 可能不是有理系数方程的根的猜测，这是 是超越数[14]的最早猜测。

1873年，法国数学家Hermite证明了自然对数的底 是超越数。1882年，Lindemann在连续函数的意义下，借助于Euler著名公式 ，终于证明了 是超越数。1885年，Lindemann的证明被德国数学家Weierstrass化简；1893年又被德国数学家Hilbert化得更简；最后被德国数学家Gordan和美国数学家Hurwicz化为初等证明。

以下，是用Lindemann-Weierstrass 定理[15]对 是超越数的简单证明。

Lindemann-Weierstrass 定理

设 是一个非零的代数数，那么 在有理数范围内是一个线性独立的集合。因此根据Lindemann-Weierstrass 定理， 是一个代数独立的集合，也就是说 是超越数。特别地， 是超越数。

另外，如果 是一个非零的代数数，那么 就是一个不同代数数的集合。因此根据Lindemann-Weierstrass定理，集合 在代数数范围内是线性独立的。特别地， 不是代数数，而是一个超越数。

现在证明 是超越数：

假设 是代数数，则 是代数数，那么根据Lindemann-Weierstrass定理， 是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。因此 是超越数。

至此，对 是超越数的认识大致完成。

3、 值背后的统计规律

一个实数在它的小数展开式中，所有10种数字（指0，1，2，…，9）以相等的概率出现时，被称为是“简单正态”的；如果所有同样长的数字块以相等的概率出现时，被称为是“正态的”。“简单正态”又称为“单纯正态”或“简单正规”。“正态”又称为“正则”或“正规”。分别具备以上性质的数被称为“简单正态数”和“正态数”。这些概念由法国数学家波莱尔提出。“正态的”也可以解释成任意长为 的一串数字出现的平均概率为 。

3.1 与简单正态数

1973年，法国女数学家吉劳德和芳旦娜小姐一起，对 的前100万位值做了统计，如下表3-1，发现最大的相对偏差率发生在数字“6”上，但也仅仅为0.452%，即不到1/200，这就使人们有理由相信， 是简单正态数[1]。

表3-1 100万位 值中各数出现的（频率）偏差（ 实际出现的次数）

数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

偏差 -41 -242 +26 +229 +230 +359 -452 -200 -15 +106

说明：相对偏差=（频率）偏差/

此外，表3-2给出 小数点后2000亿位中各数出现的次数。从表4-2中可以看出，各数出现的频率偏差很小，其中偏差最大的数“8”的相对频率偏差也不到0.0015%。

表3-2 2000亿位 小数值中各数出现的次数

数字 该数字出现的次数 数字 该数字出现的次数

0 20 000 030 841 5 19 999 917 053

1 19 999 914 711 6 19 999 881 515

2 20 000 136 978 7 19 999 967 594

3 20 000 069 393 8 20 000 291 014

4 19 999 921 691 9 19 999 869 180

有人将 的前126位值做成图3-1，并且在数4与5之间画一条线，则可以看到该线上下的点大致一样多。这说明0～4这5个数和5～9这5个数出现的概率大致相同。

图3-1 的前126位值域分布[1]

然而 是不是简单正态数，这至今仍然

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