与磁场力有关的两类极值问题

磁场中的极值问题往往与磁场力有关，而磁场力包括两种，一种是磁场对通电导线的作用力，另一种是磁场对运动电荷的作用力。那么磁场中的极值问题按磁场力来分也可以分为两类，一类是与安培力有关的极值问题，另一类是与洛伦兹力有关的极值问题。但不管求解哪一类极值问题首先要确定研究对象，搞好受力分析；然后根据受力情况和初始状态，搞清研究对象的运动过程，再根据运动过程用相应的物理规律；最后是求得所需的物理量。本文以例题的形式，分两种类型介绍如何求解与磁场力有关的极值问题。

1有安培力参与的极值问题。通电导线在磁场中不管是处于静止状态还是运动状态，都可能会受到安培力的作用。但通电导线处于静止状态时，它本身不会产生电动势，而处于运动状态时，通电导线由于电磁感应它本身也会产生感应电动势，因此在求解运动状态的通电导线的极值问题时，不能忘掉这个感应电动势。

1.1通电导线静止时的极值问题

例1如图1所示铜棒质量为0.1kg，静止于相距8cm的水平轨道上，两者间的动摩擦因数为0.5。现从一轨道载送5A电流至另一轨道，欲使铜棒滑动，两导轨间所加的匀强磁场的磁感应强度的最小值为多少？

解析设安培力F与水平方向的夹角为θ，画出如图2所示的受力分析图。则：

F=BIL。（1）

且铜棒在重力、支持力、安培力、摩擦力共同作用下应满足：

Fcosθ-μ(mg-Fsinθ)=0。(2)

联立（1）、（2）解得：

1.2通电导线运动时的极值问题

例2如图3所示，水平放置的两平行金属导轨之间的距离为L=0.25cm，电池的电动势E=6V，内电阻r=0,电阻R=5Ω, 匀强磁场磁感应强度B竖直向下,K合上后,横放在导轨上的金属棒ab在磁场力作用下由静止开始向右运动,金属棒与导轨间的滑动摩擦力f=0.15N,为使棒运动速度最大,B应为多大?此时Vmax等于多少?

解析金属棒运动时会产生感应电动势,此电动势方向与电池电动势方向想反,则电路中的电流大小为:

I=（E-BLv）/R。(1)

当金属棒速度最大时,加速度应为零,则:

BIL-f=0。(2)

把(1)代入(2)得:

B•E-BLv/RL-f=0。

整理得:L2vB2-LEB+fR=0。

要使B有意义,必须满足Δ≥0,

即:E2-4fRv≥0。

则v≤E2/4fR=12m/s。

所以:vmax=12m/s。

此时:B=E/2Lvmax=1T。

2有洛伦兹力参与的极值问题

2.1只有洛伦兹力作用时的极值问题当题中只有一个带电粒子的运动时，往往只需一条运动轨道就可确定粒子的极值问题，而当涉及到多个带电粒子的运动时往往需要多条轨道才能确定带电粒子的极值问题。

例3如图4所示，一足够长的矩形区域abcd，存在磁感应强度为B垂直纸面向里的匀强磁场。在ab的中点O处，垂直磁场射入一速度方向跟ab边夹角为30°，速度大小为v的带电粒子，已知粒子的质量为m、电量为e，ab边的长度为l，ab边足够长，粒子重力忽略不计。问：电子全部从bc边射出时，电子入射速度v大小的数值范围如何？

解析从带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式可知，半径越小，带电粒子的运动速度越小；半径越大，带电粒子的运动速率越大。因过圆周上某点的轨道半径总与该点的速度方向垂直，可知最大轨道半径和最小轨道半径的圆的圆心都在初速度方向的垂线上。由此可画出如图5所示的示意图。当轨道半径最小时电子从bc边上的M射出，当轨道半径最大时，电子刚好不从ad边射出。设最大速率、最小速率分别为v1、v2，最大半径分别为R1、R2，则由图中的几何关系可得：

R1（1-sinθ）=1/2。(1)

R2（1+sinθ）=1/2。(2)

因θ=30°，代入上面两式可得：

R1=1,R2=1/3。(3)

又从洛伦兹力作为向心力可得：

Bev=mv2/R。(4)

由以上四式可得粒子从bc边上射出v的数值大小范围为：

Bel/m≥v≥Bel/3m。

例4如图6所示，在平面直角坐标系的第一象限内，有一束宽为d的电子流，其中每个电子的速度均为v，都平行于Ox轴向右匀速运动，已知电子的质量为m、电量为e，图中A点的坐标为（1，0），且1>d，现要求这束电子通过垂直于xOy平面的匀强磁场之后都能通过A点，且距离x轴为d的电子经磁场偏转后恰好垂直x轴通过A点。求：（1） 这个区域内磁场的磁感应强度B的大小和方向。（2）设计一个符合上述条件且面积最小的匀强磁场区域，求出它的面积，并在xOy平面上画出磁场边界。

解析(1)如图7所示,先考虑与x轴距离为d的电子,它经磁场偏转后恰好垂直通过x轴 上的A点,由左手定则可知磁场方向垂直纸面向里,电子的轨道半径R=d。(1)

又有电子受的洛伦兹力作为向心力得：

Bev=mv2/R。(2)

联立（1）、（2）两式解得：B=mv/ed。

（2）从图7中可以看出与x轴距离为d的电子通过磁场偏转后恰好垂直通过A，圆弧QA应是所求磁场区域的上边界。为确定下边界，我们考察与x轴距离为y的电子的运动，设它从P（x，y）点入射磁场，通过磁场偏转后通过A点，则电子在磁场中的运动轨道是以O1为圆心、d为半径的一段圆弧PA，因而有：

（4）式表示的是以C（l，d）为圆心、d为半径的一个圆，圆弧QPA是这个圆的一部分，可见磁场的下边界就是圆弧QPA。综上所述所求的磁场区域有两个圆心角为90°的弓形对接而成，形状是叶片形的，其面积是两个相同的弓形面积之和。所以最小磁场区域的面积为：

Smin=2×(1/4πd2-1/2d2)=(π/2-1)d2。

2.2洛伦兹力和其它外力共同作用下的极值问题在此种情况下电荷的运动没有象前一种那么简单。在一些问题中它是在直线运动，而在另一些问题它是曲线运动，电荷做什么运动要视具体情况而定。

例5如图8，质量为0.1g的小球带电4×10-4C的电量，把它套在很长的绝缘直棒上，将此棒竖直地放入相互平行且都是水平的匀强电场和匀强磁场中，起场强E=10N/C，磁感应强度B=0.5T，若小球与棒之间的动摩擦因数为0.2，求小球沿棒下滑的最大速度。

解析画出如图9所示的受力分析图。小球受重力、电场力、洛伦兹力、弹力和摩擦力的作用，当合力为零时，小球下滑的速度达到最大。（图9中F表示电场力和洛伦兹力的合力）

例6如图10，顶角为2θ的光滑圆锥固定在匀强磁场中，一质量为m，电量为q的小球沿锥面做匀速圆周运动，它的最小半径是多少？

解析如图11，小球运动中受到三个力作用：重力mg，支持力FN，洛伦兹力F=qvB。

由以下两式：

FNsinθ-mg=0，

和qvB-FNcosθ=mv2/r。

得：mv2-qBrv+rmgctgθ=0。

因v的取值范围为实数，故：

(qBr)2-4m2grctgθ≥0，

即r≥4m2gctgθ/q2B2。

所以最小半径rmin=4m2gctgθ/q2B2。

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