常微分方程模型在物体冷却问题中的应用

【摘要】常微分方程在诸多领域中都有着重要的应用，本文主要研究在物体冷却问题中建立常微分方程的数学模型，培养学生建立数学模型的思想，从而更便捷的解决相应问题.

【关键词】常微分方程;物体冷却;数学模型

1.物体冷却问题中常微分方程的数学模型

1.1常微分方程的定义

常微分方程是联系自变量和未知函数以及未知量函数的导数或微分的等式，其中未知函数的导数或微分形式必须出现在方程等式中，而且未知函数只受到一个自变量的变化而变化，则该方程称为常微分方程.

常微分方程中待定函数最高阶导数的阶数成为该方程的阶，n阶常微分方程的一般形式为：F（x，y，y′，y″…，y（n））=0或y（n）=F（x，y，y′，y″，…，y（n-1））.

1.2牛顿冷却定律

牛顿冷却定律 温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比.

推论2.1.1 温度高于周围环境的物体，它自身的温度变化率与物体自身温度和当时周围温度的差成正比.

1.3模型的建立

假设一个物体的温度为T，周围环境温度为Q（假设环境温度一直保持不变），比例常数为λ，t为时间.

分析：物体的温度的变化率为未知函数温度T对自变量时间t的一阶导数，即为dTdt，在根据推论1.1.1可以列出常微分方程，即得到物体温度变化率的模型：

dTdt=-λ（T-Q）

（1.3.1）

对上式方程进行分离变量[2]：

dTdt=-λ（T-Q）dTT-Q=-λdt.

对上式方程两边同时求积分：

∫dTT-Q=∫ λdtlnT-Q=-λt+C.

（C为任意常数）

elnT-Q=e-λt+c±（T-Q）=e-λt+cT-Q=±e-λt+cT-Q=±ece-λtT-Q=Ke-λt.

（K=±ec，为常数）

整理可以得到物体温度T随时间t变化的数学模型：

T=Q+Ke-λt（K=±ec，为常数）.

（1.3.2）

设物体的初始温度为T0，当t1时刻的物体温度为T1的时候有：

T0=Q+Ke-λ×0K=T0-Q，

T1=Q+Ke-λt1T1=Q+（T0-Q）e-λt1

T1-QT0-Q=e-λt1lnT1-QT0-Q=lne-λt1-λt1=lnT1-QT0-Qt1=-lnT1-QT0-Qλ.

从而将模型（1.3.2）变为：

T=Q+T0-QelnT1-QT0-Qλ×t.

（1.3.3）

此模型说明，只要测量出周围环境温度，物体初始温度，以及物体冷却过程中任意时刻的物体温度，就可以利用模型（1.3.3）求出将物体冷却到某一温度所用的时间或者可以求出者将物体冷却某一时间物体的温度.

2.常微分方程数学模型在物体冷却问题中的应用

在物体冷却的问题中，存在着因变量对自变量一阶导数的关系方程，因此，在物体冷却问题中，我们常常利用常微分方程数学模型来解决相应的问题.

建立数学模型的思想，可以把复杂的问题简单化，利用常微分方程的数学模型，可以更便捷的解决物体冷却中的一些问题，例如法医在推断尸体死亡时间时，可以通过尸体的温度和周围环境的温度，大致推断出死亡时间.再例如，可以通过数学模型计算出物体冷却过程中物体温度的变化随时间的变化之间的规律.

例题 把100℃的一杯水放在室温25℃的环境中进行冷却，经过15分钟水温为40℃，求水温达到30℃需要多长时间.

分析 此题利用数学模型（1.3.2），先有初始温度条件求出K的值，然后由经过15分钟水温为40℃的条件求出λ值，最后就可以求出30℃所用的时间了.

解题：开始（t=0）水温为100℃，由模型T=Q+Ke-λt可得到：

100=25+KK=75，T=Q+75e-λt

①

把已知条件t=0.25小时 时候T=40℃带入①中得到：40=25+75e-λ0.25.

315=e-0.25λln315=-0.25λ

λ=-14ln315≈0.40235.

把λ值带入①中得到：

T=Q+75e-0.40235t.

②

把T=30，Q=25带入②中得到：

30=25+75e-0.40235t115=e-0.40235tln115=-0.40235tt≈1.09.

则，需要经过约1.09小时后水才能达到30℃.

3.结 语

常微分方程的数学模型不仅在物体冷却问题中有着重要的作用，而且在其他类似的问题中也具有重要的作用，例如在物体自由下落，汽车刹车，物质衰变，等问题中，同样可以利用常微分方程来更便捷的解决相应的问题.而对我们来说，关键的是要学会建立模型的思想，学会灵活的运用数学模型，在生活中数学无处不在，数学是其他自然科学的工具，我们要在相应的问题中，让建立数学模型思想也无处不在！