多方过程的定义和特征

【摘要】本文讨论了多方过程的定义，以及与准静态过程的关系；然后推导了理想气体多方过程方程；最后分析了在T-S图中，理想气体四个等值过程和一般的多方过程曲线的特点。与多方过程的P-V图相比，T-S图更加直观地反应了多方过程中能量的变化规律，同时根据P-V图也很容易计算出热机效率和制冷系数。

【关键词】多方过程 准静态过程 T-S图 多方指数

一、引言

多方过程在很多领域中都有十分重要的应用价值。比如在气象学、热工学中的过程基本上都是多方过程。但是对多方过程的定义，不同教材[1，2]和文献[3，4]里并不完全相同。在大多数物理学教材中的定义是：如果在某一过程中，系统的状态参量 和 满足：

常量 （1）

其中多方指数n为常数，此过程称为多方过程。大多数教材都是在讨论热力学第一定律的应用（主要是应用于气体，特别是理想气体）时引出的多方过程，因而通常就把研究对象局限于气态；其实，对于系统的其它聚集状态，也同样存在着多方过程。

有一些教材定义的多方过程为满足（1）式，但将多方指数n局限于取1与 （绝热指数，即定压热容量与定容热容量之比）之间的数值，这样准静态的等压过程和准静态的等容过程都不是多方过程。另外一些教材，将“在过程中外界和系统之间有热交换的过程”（甚至包括非静态过程）都称为多方过程。还有一些教材，将“系统的热容量为常量的过程”称为多方过程；事实上，等热容量过程和多方过程是两个不同的概念。

二、多方过程和准静态过程

根据“ 常量”的定义，对于多方过程所经历的任意一个中间状态而言，其状态参量P和V都有确定的值，是平衡态，因此多方过程必定是准静态过程；但是准静态过程中的状态参量P和 V不一定都满足关系式“ 常量”，因而准静态过程不一定是多方过程。所以多方过程只是准静态过程的特例。

但是无限小的准静态过程又都是无限小的多方过程[5]。对于任意一个准静态过程，都可以视为是许多个甚至无穷多个连贯的无限小的准静态过程组成的；一个准静态过程，即便不是多方过程，但也可以看成是许多个无限小的多方过程（其多方指数n是可以不相等的）组成的。所以准静态过程又具有多方过程的某些属性，可以利用多方过程的这些性质来研究讨论这些准静态过程的问题。

三、理想气体多方过程的过程方程

对于多方过程，用状态参量“ 常量”表示其过程方程，并用P-V状态图来描述是很常见的[1，5]；但是用状态参量T，S，和T-S状态图来研究多方过程并不多见。下面以理想气体为例，推导用状态参量T，S来表示多方过程的过程方程。

假设系统为1mol的理想气体，多方过程中的热容量为Cm，如果系统的温度升高dT，则系统吸收的热量为 ，根据熵的微分形式[6] 可得

（2）

热容量通常情况下都是温度T的函数，当温度变化不大时，可将理想气体的热容量当成是一个与温度无关的常量，积分可得

（3）

其中T0和Sm0为系统初态的温度和熵， 。（3）式就是所求的用温度T和熵S表示的理想气体多方过程的过程方程。

根据文献资料[6]，理想气体的多方指数n与摩尔热容量Cm的关系如下：

（4）

绝热指数γ表示定压热容与定容热容之比。将（4）式代入（3）式，整理得

（5）

则在T-S图中多方过程曲线的斜率为： （6）

四、理想气体多方过程T-S图的特点

理想气体多方过程的T-S图，如右图所示，假设P点代表系统的初态，过P点的等温线（n=1）和绝热线（n=γ）将T-S图分成4个区域。在区域①和③内的多方过程曲线的斜率檎，表示系统吸收热量，温度升高；而在区域②和④内的多方过程曲线的斜率为负，表示系统放出热量时，温度反而升高。

而区域①和③，又被等压线（n=0）和等容线（n=±∞）分成了三个区域，分别记为a，b，c。现在以区域③为例加以讨论：

⒈ 等压线（n=0）和等容线（n=±∞）都是具有指数规律的曲线，等容线的斜率为 ，比等压线的斜率

大，参见表1，从T-S图上也能直观地看到这一点。这也可以从物理本质的角度加以分析，当理想气体系统（1mol）从P点代表的初态出发，分别经过等压过程和等容过程使其温度T降低1K时，根据热力学第一定律 得，等压过程放出的热量 （Cp，m），要比等容过程放出的热量（Cv，m）多R，这些多放出的热量来自外界对系统所作的功（系统体积减小， ），而内能的减少却是相同的。曲线下面的面积就代表在该过程中理想气体放出的热量，由图中也能看出等压线下方的面积比等容线下方的面积大。

⒉ 等温线（n=1）的斜率为 ，绝热线（n=γ）的斜率为 ，参见表1，分别是平行于横轴和纵轴的直线。

⒊ ，多方过程曲线介于等压线（n-0）和等容线（n=±∞）之间，也即位于 区，当系统从 点代表的初态出发经多方过程变化为另一状态的过程中， ， ， ，此过程要比等容过程多放出一些热量，这多放出的热量来自外界对系统所作的功（系统体积减小），因而 ，dV

⒋ ，多方过程曲线介于等压线（n=0）和等温线（n=1）之间，即位于b区，与a区的分析讨论类似。系统放出的热量，来自内能的减少和外界对系统所作的功，外界对系统作的功比等压过程更多，热容量 ，曲线的斜率介于 。

⒌ ，多方过程曲线介于绝热线（n=γ）和等容线（n=±∞）之间，即位于c区，当系统从P点代表的初态出发经多方过程变化为另一状态的过程中， ， ， ，该过程要比等容过程少放出一些热量，但内能减少却是相等的，少放出的这部分热量用于系统对外界作功（系统体积增大），因而

， 。即系统减少的内能，用于系统放出的热量，以及系统对外界作的功，热容量 ，与曲线的斜率 （ ）为正是相符的。

在区域④内， ，多方过程曲线介于等温线（n=1）和绝热线（n=γ）之间。系统从P点代表的初态出发经多方过程变化为另一状态的过程中， ，而 ， ，即吸收热量，内能减少，根据热力学第一定律 ，因而

， 。即系统对外界作的功（系统体积膨胀），一部分来自系统内能的减少，另一部分来自系统吸收的热量，因而热容量 ，与曲线的斜率（ ）为负是相符合的。

以上详细讨论了多方过程曲线位于区域③、④内的变化过程中能量转变的特点，而在区域①、②内的过程与其变化方向恰好相反，此处不再一一描述。

以上即为理想气体系统多方过程 图的特点。相比于P-V状态图，T-S状态图更加直观地表示了多方过程中能量变化的特点；另外，根据T-S图也更为容易地计算出循环过程中热量的变化，热机的效率，以及制冷系数。

参考文献：

[1] 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程？热学[M].高等教育出版社，1999.

[2] 张三慧.大学物理学学（第二版），第二册.北京：清华大学出版杜.1999.

[3] 严子浚.多方过程的基本特征[J].大学物理，1995.14（12）.

[4] 吴剑锋.多方过程的TS方程及T-S曲线[J].大学物理，1996.15（10）.

[5] 高崇伊，朱琴.多方过程的定义及其和准静态过程的关系[J].大学物理，2006.25（2）：13-15.

[6] 汪志诚.热力学？统计物理（第五版）[M].北京：高等教育出版杜.2013.

重庆三峡学院第七届教学骨干项目。

作者简介：舒纯军（1974--），男，重庆万州人，硕士，副教授，主要从事《大学物理》、《热力学与统计物理学》等课程的教学和研究工作。