破译题中信息 寻求解题方法

分析题中信息

数学题的已知条件和结论会为我们提供解决相关问题的具体信息.我们称已知条件所提供的信息为题设信息，问题的结论所提供的信息为结论信息，这些信息统称为题中信息.其中，有些信息是显性的，而有些信息是隐性的.一般显性信息是在题中已直接给出的信息，而隐性信息需要我们对显性信息进行分析后才能得到，在分析和应用隐性信息时，通常需要分析条件和结论间的逻辑关系.

例1 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时， f（x）单调递增，则f（1）

A.恒大于零 B.恒小于零

C.恒等于零 D.无法判定

分析 这道题的显性信息有：①函数;②奇函数;③定义域为R;④当x∈（-∞，0]时， f（x）单调递增;⑤函数值f（1）的确定.其中，①②③④为题设信息，⑤为结论信息.

这道题的隐性信息有：①奇函数的图像关于原点对称;②奇函数的图像在原点两边具有相同的单调性;③若函数f（x）为奇函数，则f（-x）=- f（x）;④若函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0;⑤ f（1）与f（0）的大小关系.

解 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）= 0.又函数f（x）在（-∞，0]上单调递增，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增.

故f（1）> f（0）= 0.选A.

不同信息对应不同方法

在具体问题中，通常会有多个信息，对这些信息的不同理解及对这些信息的不同取舍，会产生解决问题的不同思路和方法.

例2 已知O是ABC内一点，且满足 +2 +3 =0，则AOB与凹四边形AOBC的面积之比为____.

分析 这道题的显性信息有：①ABC;②ABC内的一点O;③ +2 +3 =0;④AOB与凹四边形AOBC的面积之比.

这道题的隐性信息有：①问题普遍性与特殊性的辩证关系;②平面图形面积的割补法;③借助同底求两个三角形的面积之比;④平面向量基本定理;⑤平面向量共线定理.

通过对信息的分析和取舍，我们可以用不同的方法解这道题.由于题中对ABC的性质没有特殊要求，而结论对一切三角形都成立，同时由于该题为填空题，所以我们可以采用问题的普遍性与特殊性的辩证关系即特值法来解这道题.由于 ， 是两个不共线的非零向量，所以这两个向量可以作为平面向量的一组基底.又由解两平面图形面积之比的同底经验，我们可以根据平面向量基本定理、平面向量共线定理来解这道题.

解 （解法1）设ABC为等腰直角三角形，其中∠C=90°，AC=BC=1.以点C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，1）.设点O的坐标为（x，y），则 +2 +3 =（1-x，-y）+2（-x，1-y）+3（-x，-y）=（1-6x，2-6y）=0.解得x= ，y= .于是可得S四边形AOBC=SBOC+SAOC= ×1× + ×1× = ，SAOB=SABC -S四边形AOBC= - = .

所以，AOB与凹四边形AOBC的面积之比为1 ∶ 1.

（解法2）如图1，延长CO交AB于点D，则 =λ （λ∈R）.由A，D，B三点共线，可得 = μ +（1- μ）・ （μ∈R）.又 +2 +3 =0，则 = - - .所以- - =λμ +λ（1- μ） ，可得λ=-1.所以O为CD的中点.故SABC ∶ SAOB=CD ∶ OD=2 ∶ 1，从而可知AOB与凹四边形AOBC的面积之比为1 ∶ 1.

逐层分析信息，选取有效方法

综合题的信息比较多，各信息间的逻辑关系也比较复杂，通过对题中显性信息的逐层理解，并分析出这些显性信息后所蕴含的隐性信息，再对这些显性信息和隐性信息进行适当的取舍，就能找到解决问题的有效方法，而且能确保解决问题的准确性和全面性.

例3 已知曲线C：y=x2与直线l：x-y+2=0交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA<xB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，设点P（s，t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合.

（1）若点Q是线段AB的中点，求线段PQ的中点M的轨迹方程.

（2）若曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+ =0与D有公共点，求a的最小值.

分析 这道题的显性信息有：①曲线C：y=x2与直线l：x-y+2=0交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA<xB;②曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D;③点P与点A和点B均不重合;④点Q是线段AB的中点;⑤求线段PQ的中点M的轨迹方程;⑥曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+ =0与D有公共点;⑦参数a的最小值的确定.分析这些显性信息后，我们能发现这道题中的隐性信息有：①两曲线公共点的确定;②中点坐标公式的运用;③轨迹方程的求法;④变量取值范围的确定;⑤曲线有公共点的约束条件;⑥参数的确定.

综合分析题中信息后，我们采取逐层分析、逐层运用的方式，就能以较精练的方法解这道题了.

解 （1）由xA<xB及y=x2，x-y+2=0，可得点A的坐标为（-1，1），点B的坐标为（2，4），易知点Q的坐标为（ ， ）.

设点M的坐标为（x，y）.由于点M是线段PQ的中点，所以x= ，y= ，即s=2x - ，t=2y - .又点P（s，t）在L上，所以2y - =（2x - ）2，且-1<2x - <2.

所以点M的轨迹方程为y=2x2-x+ （- <x< ）.

（2）通过配方知曲线G是以点E（a，2）为圆心、 为半径的圆.

由图2可知，当0≤a≤ 时，曲线G与D有公共点;当a<0时，要使曲线G与D有公共点，只需点E到直线l的距离d= ≤ ，解得- ≤a<0，则a的最小值为- .

利用数学题本身蕴藏的多重信息来解决问题，是中学数学解题教学中的一种重要手段.在解具体的数学题时，同学们可借助平时积累的经验，挖掘出隐藏在显性信息后面的本质信息，通过合理的分析和适当的取舍，进而找到解决问题的有效方法.