代换法巧解应用题

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各位薯条，现在你拿着钞票到超市可以买到各种各样好吃的食物、好玩的玩具，但你有没有想过在货币（钱）发明之前，我们的祖先们如果想买东西的话，他们该怎么办呢？有些电影中可能有类似的情节：一个古人拉着一头牛跟另外一个养羊的人在商谈着什么……不错，他们很可能就在进行商品交易，用物品来交换物品。例如：如果甲有1头牛，乙有4只羊，经过协商，甲、乙两人同意交换彼此对方的物品；过了一会儿，乙用其中1只羊跟丙交换了3只鸡，这样1头牛就相当于12只鸡的数量关系。自从发明了货币，人们的交易变得简单起来，但这种代换法却深深地烙在商品交易的整个过程当中。现在，数学上的代换法（即变量替换法）就是用一些新的变量（元）替换原来的变量（元），从而对原数学问题进行变形，达到化难为易、化繁为简的目的。

【例1】 小丽的妈妈去超市购买了6千克荔枝和8千克桂圆，共计花费312元。现已知5千克荔枝的价格等于2千克桂圆的价格，则荔枝和桂圆每千克各多少钱？

分析：根据题意，5千克荔枝的价格和2千克桂圆的价格是相同的，8千克桂圆的价格相当于20千克荔枝，所以购买6千克荔枝和8千克桂圆就相当于购买26千克荔枝，最终相当于购买26千克荔枝共计花费312元。

解：312÷[6+5×（8÷2）]=12（元）……荔枝的价格

12×5÷2=30（元）……桂圆的价格

答：每千克荔枝的价格是12元，每千克桂圆的价格是30元。

【例2】张师傅带了两个徒弟小李和小王，已知张师傅1小时的加工量小李要做2小时，而小李4小时的加工量小王要做5小时。现在张师傅做了8小时，小李做了12小时，小王做了10小时，师徒三人一共加工1080个零件，则他们每小时的工作量各是多少？

分析：根据题意可知，张师傅1小时的工作量=小李2小时的工作量=小王2.5小时的工作量，小李1小时的工作量=小王1.25小时的工作量。将后来张师傅、小李单独加工的工作量全部转化为小王一个人的工作量，即张师傅做8小时相当于小王单独做20小时的工作量，小李做12小时相当于小王15小时的工作量。如果这1080个零件全部由小王自己来单独做，则需要20+15+10=45（小时），所以小王每小时的工作量是1080÷45=24（个）。通过小王每小时的加工量就可以求出小李和张师傅每小时的工作量。

解：1080÷（10+5÷4×2×8+5÷4×12）=24（个）…小王每小时的工作量

24×（5÷4）=30（个）……小李每小时的工作量

24×（5÷4×2）=60（个）……张师傅每小时的工作量

答：张师傅每小时加工零件60个，小李每小时加工零件30个，小王每小时加工零件24

个。

【例3】圆圆、方方和平平3个人在水果店各买了1袋水果，这3袋水果的重量相等。已知圆圆买了1个西瓜、1个菠萝和5个苹果，方方买了3个菠萝和11个苹果，平平买了1个西瓜和8个苹果。如果每个苹果重量是200克，那么每个菠萝重多少克？每袋水果重多少克？

分析：题中暗含的条件是所有的菠萝一样重，所有的西瓜也是一样重。已知一个苹果的重量是200克，如果能找到菠萝与苹果之间的重量关系就能求出每个菠萝的重量。同理，如果能找到西瓜和苹果之间的重量关系，西瓜的重量也能求出。这样，本题就转化成如何求菠萝和苹果、西瓜和苹果之间的重量关系。文中的3袋水果的重量相等就是本题的突破口。

解：根据3袋水果的重量相同，可以把题意条件总结为：

1个西瓜+1个菠萝+5个苹果=3个菠萝+11个苹果 ……①

1个西瓜+1个菠萝+5个苹果=1个西瓜+8个苹果 ……②

将等式两边的相同水果约掉，整理可得：

1个西瓜=2个菠萝+6个苹果 …………③

1个菠萝=3个苹果 …………④

根据④式可得，1个菠萝的重量跟3个苹果的重量一样，每个苹果重200克，所以每个菠萝重600克。根据③式可知，1个西瓜的重量等于2个菠萝和6个苹果的重量之和，即2400克。这样，每袋水果的重量为2400克+600克+200克×5=4000克。

答：每个菠萝重600克，每袋水果重4000克。

【小试牛刀】

一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖的两倍。如果评一、二、三等奖各两名，那么每个一等奖的奖金是308元。如果评1个一等奖，两个二等奖，3个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？