论狭义相对论的分析方法

摘要：本文重新定义了参考系，即使用统一的时间参量和统一的空间坐标来描述事物运动，并提出了参考系对的定义，即由两个参考系分别描述同一运动。考虑到相对论的重点是关于两个参考系分别描述同一运动，我们试图通过利用光速不变等假设由坐标变换建立微分方程，给出一种能够严格求解lorentz变换的全新的方法。并从该公式出发利用不等式分析严谨地证明了最大速率约束，结合一些相对论的悖论与前人的观点，我们从参考系对的定义出发给出了惯性系对的概念。

关键词：参考系对；惯性系对；通解坐标变换；最大速率约束；绝对速率

中图分类号：O412.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）38-0170-03

目前对于狭义相对论中lorentz变换的推导一般都是先建立尺缩和钟慢等概念，然后利用光速不变假设和坐标变换为线性变换的假设列出方程，求解系数，从而得到lorentz变换[1]。其实这种方法并非十分严谨。因此，我们试图通过找到一种更严谨的推导方法来解决这些理论上的细节问题。任何理论必须建立在公理上，但是，实际上我们是不可能一上来就知道怎样的公理才是我们所需要的。问题的突破在于求解过程的创新。考虑在一维情形下，直接假设坐标变换是任意的两个函数，然后求全微分再相除得到速度变换，再使用光速不变的假设，得到了一个微分方程。考虑到相对于参考系静止的物体在另一个参考系看来就是以两个参考系之间的相对速度运动这个特点又可以得到两个微分方程。求这三个微分方程时使用了数学分析中的格林定理的一个变形的结论，即存在一个函数F可以将坐标变换的两个函数联系起来。重写了微分方程的表达式后很惊奇地发现了微分方程竟具有波动方程的形式，考虑到时空是无界的，于是联系到用行波法求解微分方程，将另外的一个方程看成初始条件，成功得到了通解。通解和原来的lorentz变换形式上很接近了，但是所有的可用的条件都用完了，仍然只能得到通解。为了可以求解系数，最终发现我们只能让ds为不变量这条性质从定理的地位上升到公理才行，进一步地分析表明，这与参考系的全同性有着直接的关系。通过对推导过程的分析，我们提出了参考系的严格的定义和参考系对的概念。参考系的严格定义将参考系从观察者观看的形象的认识变成了抽象的认识，同时参考系对的提出更好地凸显出了相对性。

一、狭义相对论相关概念

1.参考系。参考系的定义：使用统一的时间参量和统一的空间坐标来描述事物运动。虽然参考系是具有统一的时间参量和空间坐标的，但是两个参考系之间却不一定共有统一的时间参量和空间坐标。参考系提供一个用来量化描述运动的一个方法。只有建立参考系才能谈得上测量距离和时间，否则将会导致描述的混乱。

2.参考系对与惯性系对。参考系对的定义：由两个参考系分别描述同一运动，而两个参考系之间存在相对速度（如果没有，那么就退化成了一个参考系）。对于惯性系，有些的物理学家提出将自由空间中相对于无穷远的恒星静止的坐标系当作惯性系[2]，但这其实就是认为存在一种具有更高的权限的参考系。绝对时空观的本质就是参考系的不平权，而相对性的本质就是要求参考系的平权。爱因斯坦本人其实也是认为并不存在所谓的惯性系[3]，但是他没有很明确地给出否定，取而代之的是发展出一套广义相对论来试图说明是没有必要定义惯性系。问题的关键在于相对性的体现是需要对比的。当我们提出惯性系的情形时，常识上我们习惯性地将某种默认情形作为了基准。这种默认的基准常常被人们所忽略，而参考系对的意义在于将这种默认的基准也放入考虑的范围，从而更加有力地体现出相对性，即两个参考系之间的关系。相对论的实质就是在参考系对中的物体的运动。主张恢复绝对时空观的人实际上没有意识到参考系对与参考系的区别[4]。由于伽利略变换在表达上正好可以使得参考系描述的运动和参考系对描述的运动一致，这样就使得人们在过去忽视了参考系对的概念。为了把经常使用的惯性系放到参考系对的层面上去，我们可以定义惯性系对，即由两个参考系组成的参考系对，它们之间的相对速度为常数，分别描述同一运动。相应的，如何描述相对速度？由于时间参量和空间参量只对于一个参考系有意义，因而我们必须约定以一个参考系为标准来衡量这个相对速度的变化，称作为的基准的参考系为静系，而另一个参考系为动系。当相对速度不为常数时，可能会存在非零的速度一阶导数，也就是加速度，所以在非惯性系对之间按照牛顿第二定律会存在惯性力。

二、洛伦兹变换推导

1.狭义相对论的公理。凡是严谨的理论都必须建立在严格的假设和推导的基础之上。为了能够严谨的推导出相对论的lorentz变换，这里提出五个假设：①基础运动假设：在任何一个参考系的时空中的任何运动都是连续的（物体的位置连续变化，由此只能约定参考系的空间坐标是连续的），而且任何运动在任何时刻速度都是有限的实数（由此我们只能约定参考系标定运动的时间参量也是连续的）。

②光速不变假设：在惯性系对之间的速度变换中，光速保持大小和方向不变。③相对静止存在假设：对于任何一个参考系都存在某种运动使得处于这种运动的物体能够相对于参考系静止。关于这条假设，一般会认为是多余的，因为如果参考系都是基于物体的运动，那么必然被基于的物体就必然是和该参考系相对静止的。这里我们提出这条假设是希望将参考系和物体运动在理论上严格的区分，使参考系摆脱基于某种物体的形象的认识，变成只依赖于定义的抽象的认识。由这条假设再结合第一条假设我们可以知道参考系对之间的相对速度也必须为实数。这里面存在一个问题是如果基于光子建立参考系，之后我们将会发现在求解微分方程上将会产生一种质变，本文将不讨论这种情况下的求解。④参考系互逆假设：对于两个参考系，它们之间的变换关系经过一正一逆两次变换后的结果要与原来的时空坐标值相等。这是很显然的，任何时空变换都必须基于这条性质，否则会产生许多逻辑悖论。⑤时空不变量存在假设：对于任何参考系对都存在时空不变量ds（一维情形下定义为）。有人会说时空不变量是lorentz变换所推出来的必然的结论，怎么能够作为假设呢？在后面我们可以从方程的解中看到，符合前四条的假设并非只有lorentz变换一种。只有加入这条假设才能够确定解微分方程所产生的常数，推出lorentz变换。

2.一维无界空间的lorentz变换。考虑一个一维惯性系对S和S'，设同一个物体，在S系中时空坐标为（x，t），在S'中时空坐标为（x'，t'）。约定S与S'系的单位制统一，以方便相对速度和光速不变的描述。当S'系相对于S系沿x轴以速度v运动（注意这时的v是以S系为标准来衡量的），S系是相对于S'系沿x'轴以速度-v运动（注意此时的-v是以S'系为标准来衡量的）。某一运动的物体从在S系中的时空坐标（x，t）到S'系中的时空坐标（x'，t'）的坐标变换公式设为x'=f（x，t） （1） t'=g（x，t） （2） 由基础运动假设知道f（x，t）与g（x，t）必须可微，则dx'=f■'dx+f■'dtdt'=g■'dx+g■'dt两式上下相除得到

■=■=■设在S系中物体的速度为u，在S'系中此物体速度为u'，u'=■ （3）

考虑此时的光速不变假设，由于是一维无界空间，因而运动方向只可能有两种可能，我们假设在沿着S系正方向上光速不变（后面将会证明在另一个方向上也是光速不变的）。考虑运动物体是光子，那么当光子向某一个方向以光速运动时，两个参考系分别描述光子运动的速度都是光速。即当u=c时，u'=c带入方程中得到c2gx'+cgt'=cfx'+ft' （4）

光速不变假设是总成立的，与空间位置和时间参量大小无关，因而对于S系和S'系，光子运动到任意一点时均有此公式成立。

由相对静止存在假设当u=0时，u'=-v带入得到 ft'+vgt'=0 （5） 这个公式是恒成立式。，当u'=0时，u=v带入得到fx'v+ft'=0 （6） 这个公式也是恒成立式。由（5）、（6）式得到了一个重要的关系fx'=gt' （7）事实上u=-c，u'=-c代入也是满足方程的c2gx'+cfx'=ft'+cgt'，代入fx'+gt'，正好得到c2gx'+cgt'=cfx'+ft'，因而在S系负方向上也是满足光速不变的。由数学分析理论知道，存在一个二元函数F（x，t）使得f=■ （8） g=■ （9） 称函数F为时空函数。带入①②③中得到方程组■=■·■（10）■+■·■=0 （11），由于f（x，t）和g（x，t）可微，因而必然有 ■=■ （12） 下面我们来解这个方程■=■·■， ■+■·■=0由于对于得出的任何形式的坐标变换公式都必须要存在一个函数F，且满足上面的方程组。我们假设有多对参考系对，从形式上来看，这些参考系对都共同满足第一个方程，而之后的一个方程和其两个参考系之间的相对速度有关。因此，我们可以认为对于函数F第一个方程总是成立的，因而这个方程反映了函数F的基本性质，而后面的一个方程其实是涉及具体的参考系对时带入相对速度作为条件补充进来的，因而这个方程应当视为微分方程问题的初始条件。由于空间的无界，显然该微分方程没有边界条件。考虑到这是一个没有边界条件只有初始条件的微分方程，那么很自然地，我们会想到行波法来解这个微分方程。设函数F=φ（x+at）+？渍（x-at） （13） 带入微分方程和初始条件中去φ''（x+at）+？渍''（x-at）=■·[a2φ''（x+at）+a2？渍''（x-at）]显然

a=c■

φ''（x+ct）=■·？渍''（x-ct）那么，这个方程我们可以看到左边的自变量是x+ct而右边的自变量是x-ct，要想要两个方程相等，最简单的办法就是设两边都等于常数。

设φ''（x+ct）=■·？渍''（x-ct）=k （14），我们假设 v≠c，则k≠0（v=c时解微分方程的过程将于后面完全不同，故在本文先暂不考虑）

则φ（x+ct）=■k（x+ct）2+a1（x+ct）+b1=a（x+ct）2+a1（x+ct）+b1（15） φ（x-ct）=■k■（x-ct）2+a2■（x-ct）+b2■=a·■（x-ct）2+a2■（x-ct）+b2■ （16）

因此，就得到了一个函数F的解。其中a，a1，b1，a2，b2为常数，由之前提出来的公式f=■g=■求出f和g f=a2c（x+ct）-■2c（x-ct）+a=a■t-■x+a（17） g=a2（x+ct）-■2（x-ct）+b=a■x-■t+b （18）

其中a，b为常数，注意a，b可能为与v相关的，但是由于参考系对的v是确定的常数，因而它们仍然是常数。因而从S系时空坐标（x，t）到S'系时空坐标（x'，t'）的坐标变换公式为x'=a■t-■x+a （19）

t'=a■x-■t+b （20）

常数a，b的存在实际上是由于参考系原点的选取的任意性而产生的。在后面的讨论中为了方便，我们取a=0，b=0，即x=0，t=0与x'=0，t'=0重合，出于严谨，我们考虑a是一个与v有关的系数x'=a（v）■t-■x （21）

t'=a（v）■x-■t （22）

我们称这个式子为通解坐标变换公式。由对称性可以知道从S'系时空坐标（x'，t'）到S系时空坐标（x，t）的坐标变换公式，只用把上面的方程组中的v都换成-v，x和x'互换，t和t'互换即可。

x=a（-v）■t'-■x'=a（-v）■t'-■x'，t=a（-v）■x'-■t'=a（-v）■x'-■t'

考虑到参考系互逆假设，变换关系要满足经过一正一逆两次变换后的结果要与原来的时空坐标值相等，将x'和t'利用坐标变换公式全部换成x与t，得到x=a（v）·■a（v）■x-■t+■a（v）■t-■xx=

a（v）a（-v）■x=16a（v）a（-v）c2x

t=a（v）·

■a（v）■t-■x+■a（v）■x-■tt=a（v）·

a（-v）■t=16a（v）a（-v）c■t，

由此：16a（v）a（-v）c2=1 （23）

考虑时空不变量ds存在假设x'=a（v）■t-■x，t'=a（v）■x-■t，ds2=dx2-c2dt2

ds'2=dx'2-c2dt'2=a2（v）■dt-■dx2-a2（v）c2·■dx-■dt2ds'2=a2（v）·

■dt+■dx■-■dx■-■dt■

ds'2=a2（v）■（dx2-c2dt2）=a2（v）■ds2，由ds2=ds'2得到a（v）=±■。当 a（v）=-■时，代入之前的式子中得到

x'=■t'=■， 即lorentz变换。当a（v）=■时x'=■，t'=■考虑到物体的长度和时间间隔只能取正值而上面的变换中尺缩为x'=■，钟慢为t'=■，与之违背，故舍弃。因此，我们得到了lorentz变换的严格推导。

3.对于一维无界空间的通解坐标变换的系数的求解的讨论。由于仅有光速不变只能推出通解坐标变换，因而仅有光速不变是得不出时空不变量存在的。实际上，采用另外一种假设也可以得到a（v）的确定，如下：参考系全同性假设：在两个参考系中描述的尺缩的程度和钟慢的程度相同。x1'=a（v）■t■-■x■x■'=a（v）■t2-■x2当t1=t2时，x'=x■'-x■'=-a（v）■（x■-x■）=-a（v）■x （24） 同理x=-a（v）■x' （25）令x'=-a（v）■x中的x=1，得到x'=-a（v）■，因而其表示单位长度的尺缩程度。也可以定义尺缩率为η1=■=-a（v）■，两个参考系全同，则两个参考系的尺缩率相同。类似的也可以定义钟慢率η2=■=-a（v）■

同样令x=a（-v）■x'中的x'=1，得到x=a（-v）·■由假设知道-a（v）■=a（-v）■ （26）又由16a（v）·a（-v）c2=1可以解得a（v）=-■

而得到了a（v）的具体形式也必然就可以代入验证时空不变量是存在。因此，反过来这说明时空不变量存在假设和参考系全同性假设在前四条假设成立的前提下是等价的。尺缩率和钟慢率实际上总是相同的，即总有η1=η2，这体现出了时间和空间的维度平权性，而这种维度平权性直接导致了坐标变换公式上的对称性，再结合参考系互逆假设，则可以得到参考系的全同性。有一种想法[5]认为时间和空间的属性来自于人的认知，而其本质上都是相同的维度。回顾先前我们提出的F时空函数，可以发现η1=■，η2=■，显然F时空函数体现出了时间和空间维度平权特性，尺缩率和钟慢率相等是一种必然。

4.一维无界空间的通解速度变换公式。这里我们将讨论通解坐标变换下的速度变换公式。由之前的讨论知道，通解坐标变换其实可以满足前四个假设。速度变换公式x'=a（v）■t■-■x■，t'=a（v）■x■-■t对其两边均作全微分，得到dx'=a（v）·■dt■-■dx■，dt'=a（v）■dx■-■dt■于是得到速度变换公式为：u'=■=■=■=■ （27）注意这个式子化简后没有待定项a（v），也就表明这个式子对于所有的通解是恒成立的同理u=■=■=■=■

5.一维无界空间的最大速率约束。下面我们将要证明为什么在一维无界空间物体的运动速率不能超过光速。显然我们不能直接因为■根号内的值要大于0来证明不能超光速。因为在求这个系数时，必须是假定v小于等于光速才能够开根号，为了不陷入循环论证，我们只能从通解速度变换出发去论证为什么不能超光速（至于等于光速的情形，本文将不考虑）。在两个参考系分别描述某一运动，若运动速率是相同的值，则将这种速率称之为绝对速率，在本文所讨论的即是光速值。最大速率约束表述如下：在一维无界空间有且只有一个绝对速率，且其内的一切运动都以此绝对速率为最大速率。从之前的推导我们可以发现，如果存在两个绝对速率那么必然之前建立关于函数F的方程时，我们会得到两个波动方程，这样对于行波解而言a必须要同时等于两个值，这是不可能的，因而会导致方程无解。因此有且只有一个绝对速率。以下证明即便在通解坐标变换的情形下速率也不能超过该绝对速率。证明如下：给定参考系对相对速度v，由于v和u'均是实数，可以假定v=u'+k，其中k为某一个实数，代入u'=■得到：u'+（k-2■）u'+（1-■）c2=0由于必须要保证速度值为实数，因此要有=k2+4■-4c2>0，当k

我们利用参考系对的概念，并结合本文提出来的新的狭义相对论公理，严格推导出了一维无界空间的lorentz变换，并严格推导出了一维无界空间的最大速率约束。后面，我们会继续探讨相对速度等于光速的参考系对和在更高维度的时空中的lorentz变换。同时在数学上讨论各种形状的有界时空中lorentz变换。尽管这样看上去有些脱离物理实际，但是我们更希望能在数学上去研究这些变换的存在性，或许可以由对它们的讨论找出时空隐藏的性质。

参考文献：

[1]范淑华，项临川.大学物理（上）[M].武汉：华中科技大学出版社，2010：111.

[2]刘振永.相对绝对论[M].北京：原子能出版社，2007.

[3]哈拉尔德·弗里奇.改变世界的方程：牛顿、爱因斯坦和相对论 [M].邢志忠，江向东，黄艳华，译.上海：上海科技敎育出版社， 2005.

[4][美]爱因斯坦.相对论的意义[M].周学政，王文珺，译.北京：北京出版社，2010.

[5]陈汉涛.建构在三维时空坐标系的相对论：脉络性原理[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1998.

基金项目：国家自然科学基金（批准号：11173011）资助的课题