我对“每隔几天去一次”的理解

苏教版五年级数学下册“公倍数和公因数”单元，出现了这样一道练习题：“暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每隔6天去一次，小军每隔8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练，几月几日他们又再次相遇？”题中“每隔几天去一次”到底相隔多长时间，引起了广泛争议，在苏教版小学数学编辑部黄为良先生做出解释后，争议也未能平息。

笔者注意到，教材中紧邻的上一题与该题很相似：“1路和2路公共汽车早上7时同时从起始站发车，1路车每隔7分钟发一辆车，2路车每隔8分钟发一辆车。列表找出这两路车第二次同时发车的时间。”然而，对于这一题中“每隔7分钟发一辆车”的认识和理解，大家的意见却基本一致。

相似的表述，为何理解不一？先来分析“每隔7分钟发一辆车”。借助时间轴，把时间看作一条无限长的射线，从7∶00开始，到7∶07正好相间隔7分钟；然后再从7∶07开始，再隔7分钟，就到了7∶14……

再看“每隔几天去一次”的问题，根据生活经验，“隔几天”应理解为两个指定日期之间的天数（不包括两个指定日期在内）。例如，从7月1日到7月3日，中间隔了1天。但数学是门严密的自然科学，从数学层面上看，这样的理解是不全面的。我们仍然可以利用时间轴来说明，但如果还用与上图相似的方式来描述，显然是不妥的，因为7∶00是一个时刻，可以在轴上表现为一个点，而1天是一个时间段，表现在轴上是有长度的。基于这样的认识，不妨用下图表示7月1日、7月2日、7月3日这三天的时间。如下：

从数学意义上明确“1天＝24小时”后，不难看出，从7月1日的某个时刻到7月3日的某个时刻之间的时间段，最小值是1天，最大值是3天。如果约定7月1日和7月3日的某个时刻为相应日期中的同一时刻（如都是12:00），那么从7月1日到7月3日相隔的时间就是2天，这和生活中的一般理解是有区别的。生活中7月1日与7月3日相隔1天的看法，其根源在于把每一天都看成了一个“点”，忽略了一天在时间上的持续性。当我们把时间的跨度放大，就能明显看出生活中这一说法的不妥之处。如按照生活中的看法，2008年与2010年应相隔1年，但认为从2008年1月1日到2010年12月31日仍只相隔1年显然不合适。

分析后发现，教材中的两道习题是有区别的。“7∶00”是确定的时刻，“发车”本身不占用时间，在时间轴线上，可以把“发车”事件看作一个时间点，且每两个时间点之间的时间间隔是恒定的，“每隔7分钟”在严格意义上也是确定的，“车站发车”这一事件的发生是连续的、线性的。“7月31日”是一个时间段，“参加游泳训练”发生在这一时间段的某一段，并开始于某一时刻，它相对于“7月31日”可以看做是时间轴上的一个时间点，这时事件的发生是连续的、线性的。

“7月31日”相对于“参加游泳训练”在时间轴上不能看作一个点，当“参加游泳训练”占用一整天时间（24小时）时，“7月31日”就“坍塌”成一个点，“8月1日”和“8月2日”也相应成为一个点，并且它们是彼此孤立的，三个点形成一个序列，没有线性关系。不难理解，当“参加游泳训练占用一整天时间”的时候，“隔1天”就如生活中的说法是8月2日了。事实上，生活中的这一说法，从数学层面上分析其实是一个极端的理解，当“游泳训练占用一整天时间”的时候，这一连续的线性事件已发生了质的变化，成了离散的事件。

当理清事件（或事物）本身属于“连续”还是“离散”后，很多问题都能得以解释。例如：自然数中1和4隔几个数？这一问题事件本身是离散的，每个自然数应看作各自孤立的点，因此，自然数中1和 4之间隔两个数。如果问题是“自然数1和4相差多少”，问题事件本身呈连续的线性关系，可以把自然数放在数轴上考虑（如下图），自然数1和自然数4均是数轴上的1个点，它们相差3。

再如：一排房间依次编号101、102、103、104……①101房和103房隔几间房？②101房和103房隔多远？问题①事件本身是离散的，101、102、103三间房均可以看作各自独立的点，101房和103房之间隔1间房；问题②事件本身是线性关系，最小值是1间房的宽度，最大值是3间房的宽度。

仔细分析会发现：在连续性事件上，“每隔7分钟发一次车”和“每7分钟发一次车”的意义是相同的，因为发车不占用时间，且任意每两次发车之间的时间间隔是恒定的；而在离散性事件中，“每隔6天游一次泳”和“每6天游一次泳”的意义不同，因为“每6天去一次”可理解为“在这6天中的任意一天去”，相邻两次所间隔的时间不一定相等。

如此看来，生活中的习惯说法只是事物在数学意义上状态的一种。7月1日与7月3日之间“隔1天”“隔2天”和“隔3天”的说法都是成立的，“每天游一次泳”与“每隔一天游一次泳”在数学层面上的理解可以是相同的，因为在“每天游一次泳”的两次游泳之间相隔了24小时，即“隔了一天”，也就是说“每天”即“每隔一天”，这在生活中显然是无法接受的，也是数学上规范性语言和生活中习惯性语言的矛盾。

数学根植于生活，服务于生活，是不是数学上的“约定”就需服从于生活中的“俗成”，如规定从7月1日到7月3日之间“隔1天”呢？笔者认为这显然是不妥当的。首先，“隔1天”只是一种极端的情况，不具有代表性；其次，不符合数学叙述的一般逻辑和习惯。数学是门构造的自然科学，相比而言，约定从7月1日到7月3日之间“隔2天”比较科学、合理。一是符合生活中的一般做法，通常人们每次间隔做某事的时间都是固定的。二是符合数学的叙述逻辑和构造体系，具有代表性。如从7∶00到7∶07间隔了7分钟，而不是6分钟；数轴上从1到6隔了5个单位，而不是隔了4个单位等。三是计算较方便，在形式上直接用末日期减去首日期即可。

这样的约定与学生通常的生活经验是冲突的。在实际教学中，教师需要先通过具体的例子帮助学生统一认识，以明晰数学的这一约定与生活中通常说法的区别。例如，7月1日去参加第一次游泳训练，“每隔2天去一次”是指第二次参加游泳训练的日期是7月3日；“每隔4天去一次”是指第二次参加游泳训练的日期是7月5日。当学生明白数学上的约定与生活语言的区别后，再依据这样的认识去解答相关的实际问题就不会出错了。

（责编　杜　华）