例谈如何引领学生感悟教材中的数学基本思想

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“四基”是数学课程及其实施的基本目标。基本思想是教师与学生数学素养的重要标识。数学基本思想涵盖抽象思想、推理思想和模型思想，蕴涵于数学教学内容之中。在教学过程中，教师要引导学生感悟数学基本思想，提升其数学素养。

【关键词】数学基本思想 抽象思想 推理思想 模型思想 数学素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出，要“使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。史宁中说：“数学基本思想很多，有数形结合、等量替换等，基本的数学思想主要有三个：一个是抽象，一个是推理，还有一个是模型。”数学基本思想很多隐含在数学教学内容中，如果与具体的数学知识剥离开来，单纯地讲数学思想是空洞的、抽象的，是没有价值的。只有同具体的知识相结合，用具体的知识来分析和解决问题，数学思想才能发挥其存在价值。下面，笔者就小学数学一至三年级的教学内容来谈谈教师应如何引导学生感悟蕴涵其中的数学基本思想，提升他们的数学素养。

一、感悟抽象思想，提升数学素养

所谓抽象，是指从现实的材料中抽象出数量关系和空间形式进行研究，而不是研究具体存在于现实世界的事物本身。数学研究的是抽象了的东西，这些“抽象了的东西”来源于现实世界，来源于人们的感性经验，是人们通过直观和抽象得到的。苏教版小学数学教材中涵盖了自然数的抽象、计数法的抽象、四则运算的抽象、分数的抽象、几何图形的抽象等，下面仅就一至三年级的教学内容来分析说明。

1.自然数的抽象。

数概念的产生经历了以下几个阶段：第一阶段是分类，即根据事物的特点进行归类，把具有相同特征和属性的事物放在一起，以便于研究和讨论。比如苏教版小学数学教材一年级上册第三单元“分一分”，把树叶分在3个盘子里，可以把树叶按形状分成三类，也可以按颜色分成三类。第二阶段是比较，即就两种或两种以上的同类事物辨别异同或高下，以便于更好地认识同类事物。人们常将实物按照大小、多少、高矮、长短、轻重分别进行比较。比如苏教版小学数学教材一年级上册第二单元“比一比”，新授部分比较两根绳的长短、两个学生的高矮，比两种水果（石榴和柿子）的轻重。第三阶段是多少，即同类事物在数量上进行比较，考察它们数量上的差异。第四阶段是数数，即采用实物一一对应或口头叨念或心中默念等方式查点数目，逐个说出数目，这是对事物的数量进行比较精确的界定。第五阶段是记数，即用语言、符号、文字等替代物将数数的结果记录下来，以便于日后使用。比如苏教版小学数学教材一年级上册第一单元“数一数”，第一部分的综合性场景图里各种物体的个数都不相同，分别是1台滑梯、2架秋千、3匹木马、4架飞机、5只蝴蝶、6只鸟、7朵花、8棵树、9个气球、10个小朋友。学生要开展数个数的活动。第二部分是十幅小图及与其相对应的圆点图。用圆点表示物体的个数，渗透了对应的数学思想。3匹木马画成3个圆点就是一个抽象过程，是第一次抽象，之后写成数字“3”就是第二次抽象。教师在教学写数的过程中，一定要让学生经历这种过程，感悟抽象的数学思想。

2.计数法的抽象。

人类经历了漫长的过程，才从用文字表示数进入到用“十进制计数法”表示数的阶段：第一阶段创造数字符号。一年级小学生认识和表示0～10各数就处在这个阶段。第二阶段建立进位规则，即重复使用有限的几个数字符号按一定规则进行组合表示大量数字，这是早期的“十进制计数法”。第三阶段建立位置概念，即数字符号在不同的“位”表示基数不同的量。比如苏教版小学数学教材一年级上册的第十单元“认识11～20各数”的教学，让学生从本质上领悟该计数方法，比如“11”中两个“1”表示不同的量，第一个“1”表示1个十，第二个“1”表示1个一。第四阶段建立十进制计数法，即按照“满十进一”的原则，用0～9这10个数字表示所有的自然数。比如在教学“整数的认识”时，可以进一步凸显“现实情境中的数量小棒（或正方体组合）表示数计数器（或算盘）表示数写数”这样一个不断抽象的过程，体现数学抽象的意义和十进制计数法的特点，让学生在这个过程中感悟数学思想，促进其数学素养的提高。

综上所述，小学数学一至三年级的教学内容中蕴涵着大量的抽象思想。教师在教学设计的过程中，要让学生经历过程，感悟抽象思想的价值。

二、感悟推理思想，提升数学素养

推理是数学的显著特征，与这个特征有关的思想也就成为数学的核心思想。数学推理的模式有两种，即演绎推理和归纳推理。演绎推理就是按照某些规定的法则进行的、前提与结论之间有着必然关系的推理。归纳推理则是按照某些法则进行的、前提与结论之间有着或然联系的推理。

1.小学数学的演绎推理。

在小学数学中，有很多地方都涉及演绎推理，比如苏教版小学数学教材二、三年级的加法运算的规则、乘法运算的规则等。从本质上说，自然数的加减都是整数，都是“+1”的复合，加法是顺着数，减法是倒着数的。什么意思呢？如“7+2”就是顺着7的后面数2个数得9，“7-2”就是7倒着数（往前数）2个数得5。当数字很大时，一个个地数要花很长时间，于是便有了笔算加减法，其本质就是十进制计数法的“位置原理”，比如“32+54=（3×10+5×10）+（2+4）=8×10+6=86”。如果是进位加，就要遵守“满十进一”的原则，如“37+48=（3×10+4×10）+（7+8）=7×10+1×10+5=8×10+5=85”。乘法竖式的计算规则是用乘法分配律来完成的。这里就不再说明了。

2.小学数学的归纳推理。

在小学数学中，使用最多的归纳推理是简单的枚举推理，也叫不完全归纳推理。即从一些个别或者特殊的事物出发，概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。比如教学苏教版小学数学教材二年级“长方形周长的计算方法”时，可以观察一些典型的长方形，然后写出它们的周长：

这样很容易归纳出：长方形的周长就是两条长和两条宽的和，即“长×2+宽×2”或“（长+宽）×2”。

一年级开始安排“思考题”，有些涉及的数学思想深刻一些，能够发展学生的数学思维。在教学中一定要让学生去感悟这些思想，这对提升其数学素养是很有帮助的。

三、感悟模型思想，提升数学素养

数学模型是指对于一个现实对象，为了达到特定目的，根据其内在的规律，做出必要的简化假设，再用适当的数学工具将现实对象转化成一个数学结构。数学建模就是建立教学模型用于解决现实问题的全过程，包括表达、求解、解释、检验等基本过程。数学模型思想是用数学的语言描述现实世界所依赖的思想，也就是让数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界之间的联系的桥梁。数学模型思想和数学模型紧密联系在一起，不能单独存在。

小学数学教材中蕴涵了许多数学模型和模型思想。在数学教学中，利用学生可以理解的形象、直观、具体的实例来说明，通过实例来帮助学生理解抽象的教学内容，这些实例就是数学模型。在教学中，通过一个典型问题的解决，带动相关问题的解决，从一个到一类，这就是模型思想。教师在教学这类问题时，一定要渗透，让学生去感悟。比如苏教版小学数学教材三年级上册第三单元“千克和克”，在教学“2千克=（ ）克”时，引导学生经历“1千克=1000克”的学习过程，理解了两者之间的进率，很快，“2千克=（2000）克”就可以解决，反过来“2000克=（2）千克”也就迎刃而解了。这种模型建构好了，学生对于“7千克=（ ）克”“9000克=（ ）千克”这一类的问题就都可以解决了。

总之，数学思想蕴涵在教学内容中，教师要善于把握，让学生经历过程去体验和感悟数学思想，这对提高学生的数学素养有极大的帮助。■

（作者单位：南京市鼓楼区教师进修学校）