2012届高三数学冲刺卷(理科)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若，，且 为 纯 虚 数，则 实 数的 值为()

A．4 B．－4C．2D．－2

2．若集合U＝{y|y＝log2x，0＜x＜4}，A＝{x|2x＋2x－2>1}，B＝{x|x2＞5－4x}，则(∁U A)∩B＝( )

A．[1，2]B．[1，2)C．(1，2)D．(1，2)

3．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆．某天于先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么于先生乘上上等车的概率是()

A．16B．14C． 13 D．12

4．若 在 上的不是单调函数，则 的取值范围是()

A． B． C． D． 或

5．设 为锐角， ，则的大小关系为( )

A． B． C． D．

6．设数列 满足 ， ， ， ， 且则 的值为()

A．2012B．2014C．8044D．8042

7．记 ，已知函数是偶函数( 为实常数)，则函数 的零点为( )．

A．B． C． 或 D．1或3

8．直角坐标系xOy中，点P(xP，yP)和点Q(xQ，yQ)满足 按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若 ， ，其中O为坐标原点，则 的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为( )．

A． B．C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．运行右边算法流程，当输入的 值为＿＿＿＿＿时，输出的 值为8．

10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝ ，BC＝CC1＝1，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值是＿＿＿＿．

11．设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则 的最小值为＿＿＿．

12．已知函数 ，若方程 有三个互不相等的根 ，且则 的取值范围为＿＿＿＿．

13．设椭圆方程 ， 是过左焦点 且与 轴不垂直的弦，若在左准线 上存在点 ，使 为等腰三角形， 且 ，则椭圆离心率e的取值范围为＿＿＿＿．

14．设 ， 且 ，则 的最小值为＿＿．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上．

15． (本小题满分13分)已知 中， ， ．设 ，记 ．

(1)求 的解析式及定义域；

(2)设 ，是否存在实数 ，使函数 的值域为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

16． (本小题满分13分)形状如图所示的三个游戏盘中(图(1)是正方形，M、N分别是所在边中点，图(2)是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图(3)是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．

(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？

(2)用随机变量 表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望．

17． (本小题满分13分)如图，三棱锥 中， 底面 ， ， ， 为 的中点，点 在 上，且 ．

(1)求证：平面 平面 ；

(2)求平面 与平面 所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值．

18． (本小题满分13分)已知椭圆上的一动点 到右焦点的最短距离为 ，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．

(1)求椭圆 的方程；

(2)设 ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆于另一点 ，证明直线 与 轴相交于定点 ；

(3)在(2)的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 两点，求 的取值范围．

19． (本小题满分14分)已知函数 是奇函数，函数 与 的图象关于直线 对称，当 时，( 为常数)．

(1)求的解析式；

(2)当 时 取得极值，求证：对任意 恒成立；

(3)若 是 上单调函数，且当 时，有 ，求证： ．

20． (本小题满分14分)对于数列

(1)已知 是一个公差不为零的等差数列，a5=6．

①当 时，若自然数 满足 ，且

是等比数列，试用 表示 ；

②若存在自然数 满足 ，且 构成一个等比数列．求证：当a3是整数时，a3必为12的正约数．

(2)若数列 满足 且 小于数列 中的其他任何一项，求a1的取值范围．

参考答案：

一、选择题

1．A．提示：由题意可设 ，其中 且 ，则

2．C．提示：U＝{y|y＝log2x，0＜x＜4}＝{y|y＜2}，由2x＋2x－2>1，解得x2，∁U A＝[－4，2)．由x2>5－4x，解得x1，B＝{x|x1}．(∁U A)∩B＝(1，2)．

3．D．

4．D．提示：可以从反面思考，首先让函数在R单调递减或单调递增，解得 ，因此 在 上的不是单调函数的a的取值范围为 ，或 ．

5．A．提示： ，

，故 ．

6．C．提示：由题意， ， ，且

， ．

，且

是首项为4，公差为8的等差数列． 是首项为1，公差为8的等差数列．

．

7．C．提示：由题意知： ,因此 ,

而 是偶函数，则 ，

也就是说： ，解之得 ，

所以 ，

验证易知 是偶函数．令 ，容易解得： ．

8．A．提示： ，

于是

得 ，即 ，所以 的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为 ．

二、填空题

9．3或 ．

10． ．提示：P是面A1B1C1与面CBC1交线BC1上的一个动点，所以将三角形A1B1C1与三角形CBC1沿着交线BC1展开在一个平面内，则A1P＋PC的最小值是A1C的长．可以通过计算，发现三角形A1B1C1是等腰直角三角形，A1C1＝BC1＝ ，AB1＝2，三角形CBC1也是等腰直角三角形，且BC=1，故A1BC为直角三角形，由勾股定理知A1C= ．

11．1．提示：以极点为原点，极轴所在直线为 轴建立直角坐标系．将曲线 与曲线 分别化为直角坐标方程，得直线方程 ，圆方程 ．

所以圆心(－1，0)到直线距离为2，|PQ|的最小值为2－1＝1

12． ．提示：画出 和 的图象，可知 时方程 有三个互不相等的根 ，不妨设 ，显然 关于 对称，所以 ；而 时， ； 时， ，即 所以 ．

13． ．提示：如图， 设线段 的中点为 ．过点 、 、 分别作准线 的垂线， 垂足分别为、 、 ， 则 ．

假设存在点 ，则在 ， ，得 ，且 ，即 ，所以，．

14． ．提示：设点 ，点 ，则 ，而点 是直线 上一点，点 是曲线 上的一点，求 的最小值本质上是在求 的最小值．因此曲线 上的任一点 到直线 的距离为 ，又 或 ，所以当 时， 则

三、解答题

15．解：(1)如图，在 中，由 ， ，

所以，其中定义域为 ．

(2) ，

由 可得．显然， ，则

1°当 时， ，则 的值域为 ；

2°当 时， ，不满足 的值域为 ；

因而存在实数 ，使函数 的值域为 ．

16．解：(1)“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A1、A2、A3，由题意知，A1、A2、A3互相独立，且P(A1) ，P(A2) ，P(A3) ，

P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2) P(A3) × ×．

(2)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则

P(ξ=3)= P(A1 A2 A3)+ P( )=P(A1) P(A2) P(A3)+ P( )P( )P( )

17．(1)证明： 底面 ，且 底面 ， ，

由 ，可得 ，

又 ， 平面 ，

注意到 平面 ， ，

， 为 中点， ，

，平面 ，

而 平面 ，．

(2)如图，以 为原点、 所在直线为 轴、 为 轴建立空间直角坐标系．则

．

设平面 的法向量 ．

由 得 ，

即 ……………(1)

……………(2)

取 ，则 ， ．

取平面 的法向量为

则 ，

故平面 与平面 所成角的二面角(锐角)的余弦值为 ．

18．解：(1)由题意知 ， 解得 ，

故椭圆 的方程为．

(2)由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ．

由 得 ． ①

设点 ， ，则 ．

直线 的方程为 ．

令 ，得 ．

将 ， 代入，

整理，得 ．②

由①得， 代入②

整理，得 ．

所以直线 与 轴相交于定点 ．

(3)当过点 直线 的斜率存在时，

设直线 的方程为 ， ， ．

由 得 ．

， ， ．

则．

因为 ，所以 ．

所以 ．

当过点 直线 的斜率不存在时，其方程为 ．

解得 ， ．

此时 ．

所以 的取值范围是 ．

19．解：(1) 当 时，必有 ，则 而若点 在 的图象上，

则 关于 的对称点 必在 的图象上，即当 时，

，

由于 是奇函数，则任取 有 且

又当 时，由 ， 必有 ，

综上，当时 ．

(2)若 时 取到极值，则必有当 时 ，即 ．

又由 知，当 时， ， 为减函数．

， ，

．

(3)若 在为减函数，则 对任意 皆成立，这样的实数 不存在．

若 为增函数，则可令．由于 在 上为增函数，可令 ，即当 时， 在 上为增函数，由 ， ，设 ，则 ，

与所设矛盾，

若 ，

则 ，与所设矛盾．故必有 ．

20．解：(1)①因为 ，所以，公差 从而 ，

又 是等比数列，所以公比 ，所以 ．

又 ，所以 ，所以 ．

②因为 时， 成等比数列，所以 ，即

又 是等差数列，所以当 时

所以， ，即 ，

于是 ，因为 所以 ，解得 ．

因为 ，且 ，所以 ，从而 必为12的正约数．

(2)由 得 ．

即

由(*)知：若存在 ，则 ；若存在，则，那么 是常数列，与“ 小于数列 中的其他任何一项”矛盾，因此

由(*)式知 ，从而数列 是首项为 ，公差为的等差数列，即

由于数列是递增数学，且 小于数列 中的其他任何一项，即 小于数列 中的其他任何一项，所以且 ，这是因为若 ，则由 ，得 ，即 ，与“ 小于数列 中的其他任何一项”矛盾；

若 则由 ，得 ，即 ，与“ 小于数列 中的其他任何一项”矛盾；

因此 ，且 ，从而 ，

即 ，即 ，即 ，

即 ，即 ，

综上a1的取值范围 ．