从“曹冲称象”中学习比较大小

摘要：基于“曹冲称象”的经验，比较离散量与连续量的区别，研究连续量比较大小的基本思路和方法。此法有助于高中学生迅速理解比较大小题目的实质，为高中学生学好数学推开一扇窗户。

关键词：曹冲称象；离散量；连续量；比较大小

中国百姓家喻户晓的历史典故“曹冲称象”， 出自西晋・陈寿・《三国志・卷二十魏书二十武文世王公传第二十》：“邓哀王冲，字仓舒。少聪，察岐嶷，生五六岁，智意所及，有若成人之智。时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。’太祖大悦，即施行焉。”

其大意是说：曹操的儿子曹冲长到五六岁的时候，知识和判断能力所达到的程度，可以比得上成人。有一次，孙权送来了一头巨象，曹操想知道这象的重量，询问属下，都不能说出称象的办法。曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西（故事中常说是石头）（当水面也达到记号的时候），称一下这些东西（石头），那么比较一下（东西的总质量差不多等于大象的质量）就能知道了。”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了。

“曹冲称象”的故事，其实蕴含着实用的生活经验和深刻的数学原理。

数（shù），起源于数（shǔ）；量（liàng），来源于量（liáng）。

量，大体上可以分为两类：离散量和连续量。离散量，例如：苹果、人、石头等等，这类东西是一个个分离的、独立存在的。离散量的比较，只需要数数其个数即可。连续量，例如：水、空气等等，这些东西没有接缝，是不可一个个分离的，故有“抽刀断水水更流”之说。连续量的比较与测量，是比较困难的。例如：大象的重量就当时的技术水平而言，是很难测量的。

我们先来看看另外一个例子：要比较两根长短相差不大的棍子的长度，如下三种比较方式中，只有第三种是行之有效的。

（图一） （图二） （图三）

第三种比较方法的关键，在于将连续量放在了一起，并且“对齐一头”。虽然这是一个很简单的生活常识，但这个常识，对于我们解决高中数学中的比较大小问题，是一个很好的启示。

例1. 比较与的大小。

解：与大小的比较对于初学的学生不易一眼看出，此时，我们可以模仿刚才比较棍子长度的方法：“对齐一头”。，而由指数函数单调递增，即可知。

例2.比较与的大小。

解：根据“对齐一头”的比较思路，，由对数函数在单调递增，可知。

例3.比较与的大小。

解：根据“对齐一头”的比较思路，，而由对数函数在单调递增，可知。

在现实生活中，有些事物的比较，是不能像两根木棍那样放在一起并“对齐一头”那样简单的。如：江苏无锡灵山大佛的大拇指，与四川乐山大佛的大拇指是不能简单比较哪个长的。这个时候，“曹冲称象”的典故所蕴含的生活经验和数学思想，就可以给我们深刻的启示了。

大象的体重，就当时的技术水平，是很难测量的。而曹冲的聪明之处却在于，他用可分开测量的石头的重量，来代替不可分开测量的大象的体重，其实质是用离散量来测量连续量，而所选取的离散量，是与连续量有共同测量标准的。

其实，在生活中还有很多这样的例子。例如：货币的产生。在人类没有货币的时候，交易都是物物交换进行的，这是各种物品价值的直接比较，可是人们总是对自己所拥有的物品的价值估值较高，这样的比较和交易是很麻烦的。于是，便出现了以贝壳、贵金属等作为中间物的价值比较，就形成了货币。

又如：在生活中，如果家里的玻璃损坏了，请换玻璃的师傅来换玻璃。师傅一定不会抱着一整块玻璃来家中比划，然后在整块玻璃上描绘出所需玻璃的大小，再裁玻璃。如果真有人这样做了，裁下的玻璃恐怕也不能合适地安装上去。事实上，裁玻璃的师傅一定会用一把尺子先量好所需玻璃的尺寸，再回去在整块玻璃上裁下大小适宜的一块玻璃。

不论是货币，还是量玻璃的尺子，它们都有一个共同的特点：就是可以与所比较的两个事物都“对齐一头”，有共同的价值尺度或测量标准。这就为我们解决数学中的比较大小问题提供了思路和经验。

例4.比较与的大小。

解：此例无法将所比较的两个量“对齐一头”，此时，我们可以借鉴“曹冲称象”的经验，寻找如同货币、尺子之类的可以与所比较的两个量都对齐的东西。考虑到，则有

，即解。

例5.比较与的大小。

解：仿照例4，，比较双方均比1小，作为测量标准的1失效，此时，我们考虑：测量标准并非非1不可，关键是要能够与比较双方“对齐一头”，根据这个思路，我们可以将的底数取出，将的指数取出，组成一个新数，这个新数是可以与比较双方很好的“对齐一头”的。由指数函数单调性知，而由指数函数在第一象限“低大图高”，可知，即。

综上所述，比较大小题型的解题思路可以总结如下：1.比较双方已然“对齐一头”的，可以利用函数单调性直接比出大小；2.比较双方没有“对齐一头”的，可以通过变形使其“对齐一头”；3.比较双方不能对其“对齐一头”的，可以尝试利用或作为中间的测量标准；4.即使常见的测量标准或失效，我们也可以充分发挥主观能动性，人为地做出合适的标准进行测量。

数学，源于生活，又高于生活、用于生活。如果我们善于观察生活中的常见现象，勤于思考其中蕴含的数学思想，勇于用生活中的经验和智慧来分析数学、学习数学，那么数学将不再是一本难懂的天书，而是充满了悬疑和智慧的“侦探小说”。

参考文献：

[1]远山启（日）.数学与生活[M].北京：人民邮电出版社，2010.