注重逆向思维,培养创新能力

摘 要： 逆向思维是指与人们常规的、正向的思维顺序相反的一种思维方式。在解决数学问题过程中，当正向思维困难时，我们要注重运用逆向思维方式，突破习惯性思维的局限，克服常规思维中所遇到的困难，开辟新的解题途径，优化解题过程，培养创新思维能力。

关键词： 数学教学 逆向思维 创新能力

同志指出：“创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。”培养具有创新思维能力的新型人才，我们教育工作者责无旁贷。创新思维能力主要体现为思维的灵活性，而逆向思维是培养思维灵活性的一种重要手段，因此，在有“思维的体操”之称的数学教学中，我们不但要善于正面思维，而且要注重逆向思维。

逆向思维是相对于习惯思维的另一种思维方式，突破思维定势，从相反的方向思考问题。它的基本特点是：从已有思路的反方向去思考问题，顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决；正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性。

在解决数学问题时，一般情况是由已知推出结论，久而久之，学生就形成了这种正面思考的思维定势。但有时拘泥于常规，束缚于正面思考的思维定势，困难棘手，步履艰难。事实上，事物都是辩证的，大与小、多与少、简单与复杂，都是相辅相成的。当问题的正面限制条件弱时，其反面的限制条件反而强，当从正向去思考困难时，如果善于逆向思维，注重逆向分析、逆向变形及正逆转化的限制条件，则往往可以开辟新的解题途径，避繁就简，优化解题过程。在这过程中学生就能训练思维的灵活性，培养创新意识和创新思维能力。

一、转换角色，反面求证

法国数学家阿达玛说过：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”我们在解数学题时，有一些问题直接推证难以入手或难以简明表述时，就要从反面的角度思考，把条件、结论角色转换，把结论的反面当条件用，通过肯定题设而否定结论，导出矛盾，从而反面求证。具体地讲，是从否定问题结论入手，作出与求证结论相反的假设；将反设作为已知条件，并由此通过一系列的正确逻辑推理导出矛盾；矛盾的原因是假设不成立，从而肯定原命题成立，达到解决问题的目的。

例1：已知n是已确定的正整数，r=f（k）是使满足1≤r≤n的整数与满足1≤k≤n的整数对应的函数，且当k＜k时，恒有f（k）≤f（k）。证明：存在整数m（1≤m≤n）使f（m）=m恒成立。

分析：本题中的m的大小不知道，函数的f的对应关系又不清楚，想直接从正面入手，要找到符合条件的m很难。正难则反，转换角度思考、寻求问题的证明，不妨试着把条件、结论角色转化，将结论的反面当条件用。若我们能够证明其反面不能成立，就能肯定其正面成立。

假设对任何m（1≤m≤n）都有f（m）≠m，则f（1）≠1。又由已知可得，当k=1有f（1）≥1，故推得f（1）≥2。据题设有f（2）≥f（1），所以f（2）≥2；而f（2）≠2，有f（2）≥3；同理可得f（3）≥4；……类推得f（n-1）≥n；f（n）≥n+1。

这与题设的1≤f（n）≤n矛盾，所以假设错误，原命题成立，即存在整数m（1≤m≤n）使f（m）=m恒成立。

对于问题的结论以“否定”或“唯一”、“无限”形式出现的命题，或者探索性存在型问题，从结论入手进行反面思考，从反面突破，也增强学生的思维的灵活性和开拓性，培养创新精神和实践能力。

二、逆向思考，执果索因

解题时，在顺向推理暂时难以发现求解途径，观察规律未能求得解的情况下，不妨逆向而行，从结论出发倒推回去，执果索因，从中捕捉信息，打开缺口，获取解题途径。所谓执果索因就是从肯定结论入手进行推理，推得符合条件或易证的命题，而推理的每一步均可逆，于是证得原命题成立。

例2：设a、b、c、d都是正数，求证：+≥。

分析：已知条件非常简单，按常规思维无从入手，我们试着逆向探索，姑且假设结论成立，一步步把问题转化，由果溯源，则找到解决问题的途径。

事实上，若假定+≥成立，则有a+b+2+c+d≥a+2ac+c+b+2bd+d≥ac+bd（a+b）（c+d）≥（ac+bd）ac+ad+bc+bd≥ac+2abcd+bd（ad-bc）≥0。

因为（ad-bc）是非负数，所以（ad-bc）≥0成立，又因为上面的推理每一步都可逆，故可证得原不等式成立，并且易知，当ad=bc时，不等式才取等号。

在问题的已知条件过于简单，而且条件与结论难以直接沟通的情况下，如果只从正向思考，定会陷入僵局。反之，逆向追溯，往往给人柳暗花明、耳目一新之感，有利于激发学生学习兴趣，拓展学生的解题思路，活跃灵感，提高解决问题的能力。

三、改变角度，运用补集

著名物理学家伽利略说过：“科学是在不断改变思维角度探索中前进的。”我们在解决数学问题时，也要善于改变思维角度，当遇到数学问题正向求解繁琐，甚至不能求解时，考虑逆向探求，运用补集思想，间接求解。所谓运用补集思想就是视要解决的问题为集合A，先考虑其补集CA的情况，求得补集，再利用U=A∪（CA），由所得的结果反推出A，从而达到求解的目的。

例3：已知b是实数，函数f（x）=x+bx+4，如果函数y=f（x）在区间［-1，1］上没有零点，求b的取值范围。

分析：本题如果直接求解，必须考虑f（x）=0在＜0，≥0-＜-1f（-1）＞0和≥0-＞-1f（1）＞0三种情况才能综合求得b的取值范围。改变思维角度，从其补集入手，则可避免讨论。

y=f（x）在区间［-1，1］上“没有零点”的集合之补集则为y=f（x）在区间［-1，1］上“有零点”的集合。设函数y=f（x）在区间［-1，1］上有零点（因为根据韦达定理可知道，由f（x）=0有xx=4。若y=f（x）在［-1，1］上有两个零点，则|xx|≤1，显然矛盾。所以也只有一个零点）。

由函数性质可知，a＞0，其图像开口向上，故y=f（x）在［-1，1］上有零点的充要条件是f（-1）f（1）≤0。即（5-b）（b+5）≤0，此时解得b的取值范围为（-∞，-5］∪［5，∞）。

由补集反推，当-5＜b＜5时，y=f（x）在［-1，1］上没有零点。也就是原题目所求的b的取值范围为（-5，5）。

有些数学问题的条件比较简单，而结论却比较复杂或不很明确，这些题目难以直接求解。这时应用逆向思维，从题目结论的“补集”入手，会增加推导的条件，或者供所考虑的情形较为简单，使推导较易进行，避免陷入困境，突破定势，发散思维，实现创新。

四、变换主元，反客为主

人们受思维定势影响，在解题时，总是把注意力集中在某些地位比较醒目的主元素上，这在很多情况下是正确的。但是在某些特定的条件下，若能变换主元，反客为主，常能取得出人意料的效果。

例4：已知a∈R且0＜a＜1，求证：对于x＞0，x≠1时，都有不等式2lg＜lg恒成立。

分析：根据对数的性质可知要原不等式成立，即＜成立，也就是证明（a-3a）x+2ax+（2a-2）x+2x-2＜0（）

学生由于思维定势，易把此题看成关于x的不等式讨论，则（）是关于主变元x的四次不等式，再证下去，思路受阻。但（）式中有两个变元，参变元a的最高次是2，我们变换主元，反客为主，把a看作主元，则从原来的四次式转化为关于a的二次式，即令g（a）=xa-（3x-2x-2x）a-2（x-x+1），a∈（0，1），问题转证g（a）＜0则能柳暗花明。

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事实上，关于a的二次函数g（a）是开口向上的抛物线，有g（0）=-2（x-x+1）=-2x-+＜0。由x＞0，x≠1，有g（1）=-2（x-1）（x+x+1）＜0，故有g（a）在a∈（0，1）上恒为负，也就是说g（a）＜0在（0，1）上恒成立，则（）式成立。

由此可推得原不等式2lg＜lg恒成立。

本题的关键是变换主元，以参数a作为自变量而构造函数式，不但降次，还将不等式问题转变成二次函数在某闭区间上的值的问题，化繁为简，出奇制胜。在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数是关键，往往一反常态，反客为主，使问题更明朗化，更具有灵活性，能巧妙地解决问题。这样在解题过程中不断挖掘学生的潜在意识，而不让学生的思维只注意在某一点上，导致解题思路搁浅，从而启发学生思维多变，培养学生发散思维，有利于创造力的发展。

五、揭示规律，逆用关系

不但是数学定义、公式、法则、定理可逆，有的函数也可逆。且当函数存在反函数时，互为反函数之间存在着值域和定义域互换性关系，即f（a）=bf（b）=a；奇函数的反函数仍是奇函数;在相应区间上，增（减）函数的反函数依然是增（减）函数。所以在求解函数问题中，当正面思考受阻或按常规方法不胜其烦时，能在对通法的深思中把握规律，逆用反函数关系，也就是利用函数与反函数之间的定义域、值域、单调性、奇偶性等关系，把求与原函数（反函数）有关的问题转化为求与反函数（原函数）有关的问题，则能使问题迎刃而解，收到事半功倍之效。 例5：求函数y=的反函数的值域。

分析：解本题的常规思路为先求反函数，再考察式子的取值范围得出所求函数的值域，显然繁杂。但若利用互为反函数的两个函数间定义域与值域的关系，则能使问题解决得简洁、明快。

例6：已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3-1。设f（x）的反函数是y=g（x），则g（-8）=。

分析：本题在解决过程中学生容易想到的是用直接法求解，即先求得函数的反函数，再求反函数的函数值。但若应用互为反函数间关系，则可简便求解。

y=f（x）是奇函数，所以其反函数y=g（x）也是奇函数，先求g（8），即令3-1=8，解之得x=2，也就是g（8）=2，因此g（-8）=-g（8）=-2。

应用这些关系可以免求反函数关系式，当函数的反函数比较难求时，应用这些关系求解显得更为简捷。但值得注意的是并非函数的反函数都存在，这考查学生掌握知识的完备性，加深学生对知识的理解，培养学生思维的灵活性，促进创造性思维能力发展。

六、逆向观察，以退为进

对于一些数学问题，情景较复杂，感到“进”有困难，或无路可“进”时，我们逆向观察，善于联想，不妨运用“退”。从复杂退到简单、从抽象退到具体、从一般退到特殊的情况中，使思路明朗，寻找解答方法，再回到原问题中求解。正如著名数学家华罗庚先生曾经说过：“复杂的问题要善于退，要足够地退，退到我们容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。”总之，我们要想方设法尽可能地退到一个能解决问题的平台上，以退为进达到解决问题的目的。

例7：已知a，a，…，a，a都是正数，求证：

（n）-≤（n+1）-。

分析：求证式子比较复杂，并且已知条件与求证内容之间的联系不太明显，直接推进似乎无路可“进”，我们试着“退”来考虑。

退一步：当n=2时，2-≤3-①

化简：-2≤a-3，即3-2≤a，

两边除以a（a＞0）得：3-2≤1（由于a，a，a都是正数，则＞0）。

又退一步：令=m（m＞0）代入上式得：3m-2m≤1②

分三种情况进行推理②式成立。

（1）m=1时，3m-2m=3-2=1，所以②式成立。

（2）当m＞1时，因为m＞1，m＞m，所以有2m＞1+m。又因为1+m=，m-1＞0，所以2mm-1＞m-1，即3m-2m≤1，所以②式也成立。

（3）当时0＜m＜1，因为m＜1，m＜m，所以有2m＜1+m=，又因为1-m＞0，所以2m1-m＜1-m，即3m-2m≤1，所以②式也成立。

综合以上（1）、（2）、（3），说明m为任何正数时②式都成立。

进一步：把m=＞0代入②式，即可证明①成立。

再进一步：当n=3，原式为3-≤4-时，照上述方法同样可以证明式子成立。

更进一步：类推当得n=4，5，…，n时等式都成立，也就是所求的等式成立。

有些题目难以直接获得解题途径时，“退一步海阔天空”。善于“退”，退中求进，观察特例，获得启发和灵感，先解决简单的情形，再“进”而解决一般情形，这不仅是逆向思维谋求解题途径的良策，而且能使学生的思维不停留在原来的知识表面上，深化知识的纵横联系，提高知识的运用能力，培养敏锐的观察力，激发的创新意识。

综上可知，逆向思维在数学解题中有不可忽视的作用，它不但能开拓学生解题思路、打破思维定势、简化运算过程、提高解题速度，而且有利于学生形成良好的认知结构，有利于培养学生思维的灵活性和创造性，是促进学生创新精神的养成和创新能力的提高的有效途径。我们在解题教学中，应注意引导学生认真审题，根据题中的条件、结论正反分析，观察正反面限制条件的强弱，灵活运用转换角色，反面求证；逆向思考，执果索因；改变角度，运用补集；变换主元，反客为主；揭示规律，逆用关系；逆向观察，以退为进等逆向思维方式的方法，养成双向考虑问题的良好习惯，从而克服定势，拓展思维，培养创新能力，使之培养成为富于探究和创新精神的新型人才。

参考文献：

［1］邵武.高中数学教学中学生创造思维的培养.宁德师专学报，2007，（02-0192-03）.

［2］裘桂红.退一步海阔天空.高中数学教与学，2007，（09-189）.

［3］王林全主编.中学数学思想方法概论.暨南大学出版社，2003.3.

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