用波利亚的解题法规范学生的数学解题思维

[摘要] 有的学生解答数学题时,比其他人要花费更多的时间。其中,很大的一部分原因就是数学解题方法存在问题。本文通过乔治•波利亚名著《怎样解题》的四部曲,谈谈如何规范学生的数学解题思维,养成良好的解题习惯。

[关键词] 波利亚 数学问题 解题法 解题思维

乔治•波利亚(George Polya,1887―1985) 出生于匈牙利布达佩斯,是著名的美国数学家、数学教育家、数学方法论大师。他和Hans Freudenthal是20世纪下半叶世界公认的二位数学教育权威。作为一名数学家,波利亚在众多的数学分支领域都颇有建树,并留下了以他的名字命名的术语和定理;作为一名数学教育家,波利亚有丰富的数学教育思想和精湛的教学艺术;作为一名数学方法论大师,波利亚开辟了数学启发法研究的新领域,为数学方法沦研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。他的名著《怎样解题》中提到的解题过程,我觉得用来规范学生的数学解题思维很有成效。

乔治•波利亚数十年如一日对解题方法进行研究,凝聚成一张“解题表”。这“解题表”将解题过程分为四个阶段,即弄清问题、拟定计划、实行计划、回顾。我在教学实践中,发现学生若能按照这样的四步解题程序来对数学进行解答,收获颇丰。笔者就结合教学时碰到的实例,来谈一谈这四步解题程序。

一、弄清问题

一个问题摆在面前,它的未知数是什么,已知数又是什么?条件是什么,结论又是什么?给出条件是否能直接确定未知数?若直接条件不够充分,那隐性的条件有哪些?所给的条件会不会是多余的?或者是矛盾的呢?弄清这些情况后,往往还要画画草图、引入适当的符号加以分析为佳。

有的学生没能把问题的内涵理解透,凭印象解答,冒然下手,结果可想而知。

好几个学生对结果有四种可能惊诧不已,其实,若能按照乔治•波利亚《怎样解题》中说画画草图进而弄清问题,就能很快找出四种的可能答案。这不禁也让我想起我国著名数学家华罗庚教授描写“数形结合”的一首诗:数形本是相倚依,焉能分做两边飞。数缺形时少直觉,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事休。几何代数统一体,永远联系莫分离。

二、拟订计划

大多问题往往不能一下子就可以迎刃而解,这时你就要找间接的联系,不得不考虑辅助条件,如添加必要的辅助线,找出已知量和未知量之间的关系,此时你应该拟定个求解的计划。

有的学生认为,解数学题要拟定什么计划,会做就会做,不会做就不会做。其实不然,对于解题,第一步问题弄清后,要着手解决前,你会考虑很多,脑袋瓜会闪出很多问题,比如,以前见过它吗?是否遇到过相同的或形式稍有不同的此类问题?我该用什么方法来解答为好呢?哪些定理公式我可以用呢,等等诸如此类的问题。

在自问自答的过程中,就是自我拟定计划的过程,若学生经常这样思维,并加以归纳,对于数学问题往往就能较快找到解决该问题的最佳途径。

例如,平面解析几何中在讲对称时,我常举以下几个例子加以练习:

第一小题是点与点之间对称的问题;第二小题和第三小题是个相互的问题,一题是直线关于点对称最终求直线的问题,另一题是点关于直线对称最终求点的问题;第四小题是直线关于直线对称的问题,这问题要考虑两直线是平行还是相交的情况.

通过以上四小题的分析归纳,学生再碰到此类对称的问题就能得心应手了,能以最快的时间内拟出解决方案,即拟定好计划,少走弯路.另外对点、直线和圆的位置关系的判断也可以进行同样的探讨,做到举一反三。

在拟定计划中,有时不能马上解决所提出的问题,此时可以换个角度考量。譬如,(1)能不能加入辅助元素后可以重新叙述该问题,或能不能用另外一种方法来重新描述该问题;(2)对于该问题,我能不能先解决一个与此有关的问题,或能不能先解决和该问题类似的问题,然后利用预先解决的问题去拟定解决该问题的计划;(3)能不能进一步探讨,保持条件的一部分舍去其余部分,这样的话对于未知数的确定会有怎么样的变化,或者能不能从已知数据导出某些有用的东西,进而改变未知数或数据(或者二者都改变),这样能不能使未知量和新数据更加接近,进而解答问题;(4)是否已经利用了所有的已知数据,是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念,原先自己凭印象给出的定义是否准确.碰到问题一时无法解决,采用上述的不同角度进行思考,应该很快就可以找到解决问题的瓶颈了。

三、实行计划

实施解题所拟定的计划,并认真检验每一个步骤和过程,必须证明或保证每一步的准确性.出现谬论或前后相互矛盾的情况,往往就在实行计划中没能证明每一步都是按正确的方向来走。

例如,有这样的一个诡辩题,题目大意如下:龟和兔,大家都知道肯定是兔子跑的快,但如果让乌龟提前出发10米,这时乌龟和兔子一起开跑,那样的话兔子永远都追不上乌龟.从常识上看这结论肯定错误,但从逻辑上分析:当兔子赶上乌龟提前出发的这10米的时候,是需要一段时间的,假设是10秒,那在这10秒里,乌龟又往前跑了一小段距离,假设为1米,当兔子再追上这1米,乌龟又往前移动了一小段距离,如此这样下去,不管兔子跑的有多快,但只能无限接近乌龟而不能超过。这个问题问倒了很多人(当然包括学生),问题出在哪呢?问题就出在假设上,假设出现了问题,就是实行计划的第一步出现错误,你能说结论会正确吗?

这样诡辩题在数学上很多,有的一开始就是错的,如同上面的例子;有的在解题过程中出现错误;有的采用循环论证,用错误的结论当做定理去证明新的问题;还有的偷换概念。例如,学生们之间经常讨论的一个例子:有3个人去投宿,一个晚上30元,三个人每人掏了10元凑够30元交给了老板,后来老板说今天优惠只要25元就够了,于是老板拿出5元让服务生退还给他们,而服务生偷偷藏起了2元,然后把剩下的3元钱分给了那三个人,每人分到1元。现在来算算,一开始每人掏了10元,现在又退回1元,也就是10-1=9,每人只花了9元钱,3个人每人9元,3 ×9 = 27元 +服务生藏起的2元=29元,还有一元钱哪去了?这问题就是偷换概念,不同类的钱数目硬性加在一起。

所以,在实行计划中,检验是非常关键的。

四、回顾

最后一步是回顾,就是最终的检测和反思了。结果进行检测,判断是否正确;这道题还有没有其他的解法;现在能不能较快看出问题的实质所在;能不能把这个结论或方法当做工具用于其它的问题的解答,等等。

⑴在乔治•波利亚解题法第一步弄清问题中,所举的那个例题,结论要是考虑不周全,不进行认真检验,就会漏了方程x=2这个解,那样的话,从完整度来说就前功尽弃了。

⑵一题多解,举一反三,这在数学解题中经常出现。

⑶通过问题的解答过程以及最终结论检验,在今后遇到同样或类似问题时,能不能直接找到问题实质所在或答案,或许这就是看你的“数感”(即对数学的感知感觉)如何了。例如,空间四边形四边中点依次连接构成平行四边形,有了这感觉,回忆起以前学的正方形、长方形、菱形、梯形或任意四边形的四边中点依次连接所成的图形,就不难得出答案了。

⑷数学是一门工具学,某个问题解决了,要是所获得的经验或结论可以作为其它问题解决的奠基石,那么解决这个数学问题的目的就达到了。古人在经过长期的生产生活中,给我们留下了不少经验和方法,体现在数学上就是定理或公式了,为我们的继续研究创造了不少的先决条件,不管在时间上还是空间上,都是如此。我们要让学生认识到,教课书中的知识包涵了多少前辈人的心血,要好好珍惜。

参考文献:

[1][美]G•波利亚.怎样解题.上海科技教育出版社,2007.

[2]乔家瑞.数学基础版教参.语文出版社,2002.