集合与简易逻辑中应重视的几类问题

集合具有高度抽象性、应用的广泛性等诸多特点，同学们若对集合概念缺乏深刻的理解，考虑问题若不周密，求解集合问题时就容易出错. 而简易逻辑中的“逻辑联结词”的出现，又对我们平时的思维习惯加以挑战. 同学们若想掌握好集合与简易逻辑的有关内容，就应该重视以下几类问题.

一、注意集合中代表元素的属性

集合一般采用{x|P}的形式来描述，其中x表示集合中的代表元素，P表示集合中的元素所满足的公共属性， 其中的x有一定的意义. 考察集合时，第一步就要注意集合的代表元素是什么，而大多数同学常常容易忽视这一点，以致造成错解.

例1 （2007年高考江西理科卷）若集合M={0，1，2}，N={（x，y）|x-2y+1≥0且x-2y-1 ≤0，x，y∈M}，则N中元素的个数为（）

A. 9B. 6

C. 4D. 2

错解 选B.

解析 经验证，N中元素可以是（0，0）、（1，1）、（1，0）、（2，1），但是将（1，0）、（2，1）都分别看成了可以交换顺序的元素，这样就成了6个元素. 事实上，集合N中的元素是有序实数对，是不可以任意更改顺序的. 故应选C.

二、不要忽视集合中元素的特征

对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 同学们学习时若对集合中元素的特征理解不深，解题时就容易出错. 特别是集合中元素的互异性，解题后若不注意检验，常会导致结果中集合的元素重复，从而造成失误.

例2 （2007年高考全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}=0，■，b，则b-a=（）

A. 1B. -1 C. 2D. -2

解析 根据集合中元素的确定性可知，a=0或者a+b=0，由于a在分母上，则只能是a+b=0，则解得b=1，a=-1，因此b-a=2. 故选C.

点评 本题主要是考查集合中元素的“确定性、无序性、互异性”.

三、不可小觑空集的性质

空集是一个特殊且重要的集合，它不含任何元素，有以下性质：

1. 对于任何集合A，都有?哿A；

2. 对于任何非空集合A，都有?芴A；

3. 对于任何集合A，都有∩A=；

4. 对于任何集合A，都有∪A=A.

在解题过程中，若忽视空集的性质往往容易导致错解.

例3 （2007年高考湖南理科卷）设M，N是两个集合，则“M∪N≠”是“M∩N≠”的（）

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件

错解 选C. 若“M∪N≠”，则“M≠且N≠”，得出“M∩N≠”；反过来，当“M∩N≠”时，显然有“M∪N≠”. 因此选C.

解析 错解中认为“M∪N≠”一定能推出“M≠且N≠”. 事实上，真正能推出的应该是两个集合至少有一个不是空集，也就是允许其中一个是空集，这样M∩N=，因此该题应该是必要不充分条件. 选B.

四、分清“否定命题”与“否命题”的区别

否命题与命题的否定是不同的，若p表示命题，则?劭p是命题的否定，如果原命题是“若p则q”，那么“若p则?劭q”是这个命题的否定，即只否定结论，而原命题的否命题是“若?劭p则?劭q”，既否定条件也否定结论.

例4 （2007年高考山东理科卷）命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）

A. 不存在x∈R，x3-x2+1≤0 B. 存在x∈R，x3-x2+1≤0

C. 存在x∈R，x3-x2+1＞0 D. 对任意的x∈R，x3-x2+1＞0

错解 选B.

解析 这是一个简单命题，加否定必须前后全部加上，即也要对x3-x2+1≤0进行否定. 故应选C.

五、与其他知识点的结合

有时集合问题是需要和其他知识点结合起来发挥威力的，此时所考查的重点就不在集合上了，而是在其他知识点上，因此需要我们提高警惕.

例5 （2007年高考陕西文科卷）给出如下三个命题：

① 设a，b∈R，且ab≠0，若■＞1，则■＜1；

② 四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；

③ 若f（x）=log■2x，则f（|x|）是偶函数.

其中正确命题的序号是（）

A. ①②

B. ②③

C. ①③

D. ①②③

错解 选D.

解析 命题①、③都是真命题，没有什么疑问，关键就是命题②，若将命题②变形成为■=■或者是■=■，就容易把命题②看成真命题. 其实，对于命题②，当a、d同正且b、c同负时就不能构成等比数列，因为等比数列中所有的奇数项的符号相同，所有的偶数项的符号相同. 故选C.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”