初学集合常见错误解析

集合，作为高中数学的第一章内容，虽然难度不大，但学生在解答时，稍不注意，就常会解答失误，造成失分。究其原因主要是学生学习集合时，要真正掌握集合的概念、集合中元素的性质、符号的表示及它们之间的关系等内容，并非易事。为此，笔者结合实例将集合中常见问题分析、总结如下：

一、遗忘空集和本身

例1.满足M?哿{0，1，2}且M?哿{0，2，4}的集合M的个数有()。

(A)1个(B)2个(C)3个 (D)4个

错解：由已知，M?哿{0，2}，用列举法得M为{0}，{2}，{0，2}，故选（C）。

剖析：忽视了M=／，故应选（D）。

点评：在集合部分，空集是一个特殊的集合，其定义为不含任何元素的集合，它的具体表现形式很多，可能是方程（组）无解，也可能是不等式（组）无解，或者为其他完全不存在的集合对象。课本上明确指出了它的很多性质，如（1）／?哿A，其中A为任一集合，当A非空时／?芴A；（2）／I A=／，

次考试，笔者都发现错误率很高。

二、忽视集合中元素的互异性

例5.设A={-1，a}，B={1，|a|}，若A∩B≠／，求实数a的取值范围。

错解：|a|≠-1，由已知A∩B≠／|a|=aa≥0。

剖析：当a=1时，B={1，1}和集合中元素的互异性发生矛盾，所以a的范围应为{a|a≥0且a≠1}，故本题应考虑|a|≠1这一隐藏条件。

剖析：当m=1时，A中有元素1重复，和互异性矛盾，应舍去，m=-1。

剖析：本题C的值出现了增解，因为当C=1时，集合B出现了相同的元素，和互异性矛盾，故应舍去，C=- 。

点评：集合中的元素有三大性质：⑴确定性、⑵互异性、⑶无序性，其中的互异性在解题时最易被忽视，所以在已知两个集合满足某些条件，确定某些字母时要注意将所求得的结果代入检验集合中有无重复元素。

三、不能正确理解集合中元素的形式和真正含义

例7.下列哪个集合不同于另外三个集合（ ）。

错解：笔者发现学生大部分选（A）、（B）或（D）。

剖析：事实上（A）、（B）、（D）都表示集合{1}，而（C）则表示的以“x=1”这个表达式为元素的集合，应选（C）。

分析：上述五小题出错率都很高，应分别选（D），（C），（D），（D），（C），究其原因主要是完全曲解了这些集合中元素的表示形式及真正含义，它们有时表示定义域，有时为值域，有时表示点集，只有认真审题，了解元素的真正含义，才能立于不败之地。

点评：集合有多种表示方法，如列举法，描述法，图示法等。描述法{x|x具有性质p}用得最多，我们称之为代表元素描述法，它被广泛应用于方程（组）、不等式（组）、函数等的表示，学生往往只留意表示方法中竖线右边的内容，而忽视其左边的内容，造成对集合中元素的真正含义模糊不清，解题时屡屡犯错，常见错误有{x＞2}=

四、对“／”、“∈”、“?哿”、“ ?芴 ”、“∩”等符号不能正确识记

点评：本题错误率很高，正确答案为（B），只有关系式②是正确的，“∈”表示集合和元素之间的关系，“?哿”表示集合与集合之间的关系，值得注意的是一个集合可以一个元素的形式出现在另一个集合中，此时它们即为元素和集合之间的关系，如②和③，对⑤来说，（1，1）并非集合{y|y=x -2x+2，x∈R}的元素，另外我们还应注意符号“?芴”不包括相等这种情况，因此①当A=／时出现了问题。

例10.若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有（ ）。

（A）A?哿C （B）C?哿A （C）A≠C （D）A=／

错解：笔者发现学生选（A）、（B）、（C）或（D）均有。

剖析：学生不能正确理解集合中符号“∩，∪，?哿，∈”的含义。方法一：利用定义转化抽象的符号语言，设任意元素x∈A或x∈B，A∪B=B∩C x∈B且x∈C，A?哿C，选（A）。方法二：利用A∪B，B∩C的等价的图形语言转化抽象的符号语言。

五、区间端点取舍模糊不清

（1）若A?芴B，求a的取值范围；

（2）若A∩B=B，求a的取值范围；

（3）若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。

分析：在考试中发现学生答案较多，如在解（2）时，至少会出现1＜a＜2，1≤a＜2，1＜a≤2，1≤a≤2四种答案，（1）和（3）亦存在类似问题，我们归纳起来发现这些错误的共同特征是区间端点问题。解答这类问题的方法是借助数轴求解，首先要特别注意已知集合是否包括区间的端点，如本题集合B改为B={x| x -（a+1）x+a＜0}其答案又都发生变化，本题正确答案依次为（1）a＞2（2）1≤a≤2（3）a≤1，笔者据多年教学经验认为对区间端点如a=1和a=2代入集合B={1}和B={x|1≤x≤2}，由此易得区间端点是否满足题意。

例12.已知集合A={ x|-2≤x≤4}，B={ x|x＞a}。

（1）若A∩B≠／，求实数a的取值范围；

（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围；

（3）若A∩B≠／，且A∩B≠A，求实数a的取值范围。

分析：本题所揭示问题和上题类似，读者不妨一试，能否得如下答案：（1）a＜4、（2）a＜-2、（3）-2≤a＜4，将本题中集合A改为A={ x|-2＜x＜4}，答案有何变化？集合B改为B={x|x≥a}，答案又如何？

总之，集合的概念在中学数学教学中的地位十分重要，且应用非常广泛，被高考列入必考内容。我们应高度重视，对其概念能够透彻理解，减少考试中的不必要的失分。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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