一道最值问题引起的思考

在高三数学复习中经常会遇到这样一类题型，求一点到另外两点距离之差的最大值，和求一点到另外两点距离之和的最小值。笔者认为，要做好这道题需对这道题的意思进行深刻地体会之后再解答便易如反掌了。

例：在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。

（2）P到A（4，1）和B（3，4）的距离之和最小。

通过数轴上求距离的知识可知，P点在A、B点同侧，且P、A、B三点一定要在同一条直线上时，点P到两点的距离之差有最大值。

同样的道理，当点P位于A、B两点之间，且P、A、B三点也要在同一条直线上时，点P到A、B两点距离之和有最小值。

搞清楚了这两个问题，在看题目中的条件（1）求点P，使得P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。通过画图不难发现A、B两点位于直线L的两侧，但是点P必须要位于两点的同侧才有距离之差的最大值，而我们知道直线的位置是固定不变的，所以，这时候要考虑做两点中任意一点关于直线L的对称点，比如作A点关于直线L的对称点A1，连接BA1并延长与直线L相交于一点，这个点就是我们所求的P点，因为它既满足了与A、B两点在同一侧，又满足了与A、B在同一条直线上两个条件，所以，求出P点的坐标即可。

再看题目中的条件（2），求点P，使得点P到A（4，1）和B（3，4）的距离之和的最小值，同样由上述分析可知，所求P点要位于A、B两点之间，且P、A、B三点须在同一条直线上，但通过画图可知直线L上的所有点都不在A、B之间，怎么办呢？还是老办法，做两点中任一点关于直线L的对称点，通过计算可求出该点的坐标。下面我们完整地解出该题。

解答：（1）如图1，在平边直角坐标系中求出B点关于直线L

的对称点B1（3，3）还可求出直线AB1的方程为：2x+y-9=0，与直线3x-y-1=0联立可求得交点P的坐标为（2，5），所以P（2，5）就是所求的点。

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（2）如图2在平面直角坐标系中求出A点关于直线L的对称点A1（-2，3），还可求出直线的方程为：x-5y+17=0，与直线L联立，可求得交点坐标P（11/7，26/7）。

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（作者单位 青海省大通县第七中学）