热扩散方程的一个运用

摘 要 偏微分方程曾被用于图像分析，基于偏微分方程的图像处理，需要相应算法迭代的停止点，即在该点得到的图像相比于原始图像更清晰，且往后继续迭代不会得到更清晰的图像。本文运用热扩散方程解去除数字信号中的噪声。在一个R上的有界区域%R，运用解偏微分方程数值解的方法处理数字信号。

关键词 有限差分法 热扩散方程 噪声

中图分类号：TP301.6 文献标识码：A

A use of Heat Diffusion EquationZHANG Luping

（Institute of Public Teaching， Jiangxi Science and Technology University， Nan Chang， Jiangxi 330098）

Abstract Partial differential equation once used to analyze imagines. Imagine processing based on partial differential equations needs the corresponding algorithm by which we get stop point of iteration. The imagine at this point is clearer than the imagine before the point and the imagine before the point. In this paper， we will use Heat Diffusion equation to investigation how to remove the noise in digital signals. We deal with digital signals， via Partial Differential Equation approach on a bounded domain %R of R.

Key words finite difference methods； heat diffusion equation； noise reduction

0 引言

随着科技的发展，人们已经不局限于直接用眼睛去看外面的世间，摄影机和电脑等机器视觉代替人眼对目标进行识别、跟踪和测量，并进一步做图像处理。在过去的若干年，数字信号处理发展迅速，其运用已分布到各行各业，用电脑处理数字信息已成为更适合人眼观察或一传送给仪器检测的图像。①不过，图像在生成、传输或变换的过程中，受光源性能、成像系统性能和噪声等诸多因素的影响，往往会出现清晰度下降、动态范围不足、包含噪声等降低图像质量的现象。为了后续的处理和分析，往往需要进行图像复原或图像增强的处理。②偏微分方程，线性滤波法和小波法都曾被用于图像复原，其中偏微分方程还被用于图像分析。图像增强方法根据处理目的和效果又可分为平滑和锐化，图像平滑主要目的是为了消除噪声。一般来说，图像的能量主要集中在其低频部分，而图像的噪声、边缘轮廓及局部细节主要取决于高频部分。图像平滑保持或加强了图像中的低频成分，削弱或消除图像中的高频成分，一个好的平滑算法在消除噪声的同时，同时避免使图像的边缘轮廓和线条变得模糊。③

本文将通过偏微分方程法研究图像处理，图像处理可分为三个部分；图像压缩，图像复原和图像分析，这里做的研究涉及的是图像复原。在实际中，当做图像处理时没有原始图像，基于偏微分方程的图像平滑技术，需要计算机迭代的停止点，即在该点得到的图像相比于原始图像更清晰，且往后继续迭代不会得到更清晰的图像。

1 模型

在作图像处理前，关于所用到的偏微分方程需要考虑以下几点：（1）为偏微分方程提供一个好且稳定的有限差分图；（2）可得到迭代停止点；（3）依图像运用均匀和非均匀网格。

在接下来两章中将逐个探讨以上各点，考虑R中的有界区域%R，带有光滑边界%R。

将信号定义为一个随时间和空间变动的量，并运用模拟信号的样本，具体步骤如下：（1）离散化，将连续模型变为离散的等价式；（2）量化， 将输入值得大集合映射到相对小的集合。

本文将仅用数字信号，跳过模拟信号的数字化过程，目标是举一个跳跃间断的例子，主要着眼点是去除信号中的噪声，噪声去除的过程将通过偏微分方程方法。

由于不考虑图像的形状，图像的平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程 = ，其中是一个常数，7而表示某一数字信号。通过运用热方程的一维形式将上述信号中的噪声去除，需要有限差分格式的紧性，稳定性和一致性，关于紧性可以运用如下定理。

定理：Lax等价定理 一个适定的线性初值问题的一致二阶差分格式是紧的当且仅当其是稳定的。④

研究如何将偏微分方程运用到去除信号中的噪声，是热力学扩散常数，考虑 =1的情形，热方程的光滑能力表现只有满足有限差分格式的的稳定性。

2 方法

为了简化计算，将时间和空间均匀离散化，定义： = （HU， HU），由导数的定义，如果足够光滑，那么其在点附近可近似为≈ + （）

基于错误项分解为傅立叶级数的黎曼稳定性分析，要满足此数值方法的紧性只需≤说明此有限差分格式是条件稳定的。以此种模式迭代，迭代次数越多其解u越光滑，不过与原始相差也就越远。

去除信号中的噪声作为数字信号处理的一种形式，除了显式欧拉法也可以运用其他方法如隐法及C-N法去解热方程。⑤之后的研究会尝试用其他方法解方程，所得的结果将与显式方法的比较看哪种所得的结果更好。回顾结论热方程会使信号快速光滑，因此即使运用更好的数值方法去解热方程，信息的细微部分可能丢失。这意味着隐式欧拉法相比较于显式欧拉法可能更好，因为后者的计算时间往往更长。将x方向非均匀离散化是很必要的，特别是涉及不连续的时候。然而，当用到比显式欧拉法更稳定的数值方法，整体去除噪声过程的计算成本可能不会增加。

在去除噪声的过程用P-M 方程也比较有效，不过与热扩散方程比较哪种方法更好，取决于具体的参数值。如果 = 0，P-M 方程和热方程差不多。当>0.25，P-M 方程在去除噪声的最初阶段，去除噪声很慢或者没有什么变化，迭代时间足够长才能使信号光滑。信息的不连续可能是因为噪声，也可能是信息局部细化的结果，P-M 方程的作用类似局部平均过滤器，即将不连续区域化并使得它们不变，但局部快速交替的信号将被光滑些，此光滑过程没有热方程那么快。为了处理快速交替信号和不连续信号，选择非均等的%=x可能会更好。这意味着在用显式欧拉法时，在每个时间步段需要考虑稳定性，这是因为在每个时间步段HU可能改变使得>，为了避免这种情况可以运用其他非条件稳定的有限差分法，在此方面热扩散方程和P-M 方程差不多。

基金项目：江西科技学院自然科学研究项目“热方程的理论研究及应用”（ZR12YB15）

注释

① Bichsel， M.， and Pentland， A.， “Topolgical Matching for Human Face Recognition”， M.I.T. Media Laboratory Vision and Modeling Group Technical Report No.186， Jan. 1992.

② Kanade， T.， “Picture Processing by computer complex and recognition of human face ”， Tech. Report， Kyoto University， Dept. of Information Science， 1973.

③ Milan， V. Halavac， R.Boyle， Image Processing， Analysis， and Machine Vision International Student Edition， Cengage Learning，

④ J.W.Thomas，Numerical Partial Differential Equations： Finite Difference Methods Text in Applied Mathematics 22.， Springer-Verlag， ISBN： 0-387-97999-9，1995.

⑤ James S. Walker， A Primer On WAVELETS and Their Scientific Applications， 2008 Second Edition， ISBN：1-58488-745-1.