向量暗藏玄机 方向掌控自如

摘 要：向量在中学数学学科中有着极其广泛的应用，尤其在立体几何求二面角大小时会起到事半功倍的效果。而利用向量求解二面角的大小时，半平面的法向量的夹角和二面角的平面角有时相等，有时互补，如何确定大小关系一直以来是困扰很多老师和学生的一个难题。

关键词：二面角；法向量；数量积

立体几何中的求二面角大小问题，是高考重点考查的热点内容，利用空间向量法求二面角大小将抽象的几何问题代数化，与传统的几何方法相比，思路清晰，推理简单，深受广大考生的青睐。

法向量与二面角的关系如图1，一句话概括：“同进同出互补，一进一出相等”。在空间直角坐标系中，只需求出两个平面的法向量，计算它们的夹角，接着借助于具体图形观察从而判定相等或互补，得到结论。

图1

教学中学生向我提了一个问题，那万一观察不出怎么办？此问题很棘手，“数缺形时少直观”，直观的图形对求解起着很大的作用，但从数学的严谨性和理论上说，这个问题应该通过代数解决，而不是依赖于观察。面对着法向量的“美中不足”，我总不甘心。机会来了，前一段时间，我市高考复习研讨会召开，有一位杨老师上了一堂《空间向量在立体几何中的应用》的展示课，让我受益匪浅。现把题目摘录如下：如图2，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2 ，CD= ，AB=AC=2求二面角C-ADE.（略作改动）

杨老师的解答如下：

解：取BC中点O，则AO底面BCDE，建立如图2所示的空间直角坐标系.点A（0，0， ），B（- ，0，0），C（ ，0，0），D（ ， ，0），E（- ， ，0），设平面ACD法向量 =（-1，y，z）， =（ ，0，- ）， =（ ， ，- ），由 ・ =0 ・ =0得 =（-1，0，-1）；设平面ADE的法向量 =（x，1，z），同理可得， =（0，1，1）得 ， = ，故二面角C-AD-E大小为 .

我们都习惯把法向量设成 =（x，y，z），列出两个方程，根据系数的情况再赋值。而杨老师设法向量时结合图形，设法向量为 =（-1，y，z）， =（x，1，z），让人眼前一亮，千万不要小瞧这一步，它的设法其实暗藏玄机――“指向”。从杨老师处受到启发，我趁热打铁，把这一方法归纳如下。

反思一：一平面的法向量 =，若“向上”可设 =（x，y，1）或 =（x，y，z0），其中z0>0；若“向前”可设 =（1，y，z）或 =（x0，y，z），其中x0>0；若“向右”可设 =（x，1，z）或 =（x，y0，z），其中y0>0，如果把1换成-1，或把x0，y0，z0都改成负的，那么将会变成与 方向相反的法向量。如图3，平面ABC的法向量 ，因“向上”，我们可以设 =（x，y，1）；因“向右”，也可以设成 =（x，1，z）；因“向前”，还可以设成 =（1，y，z），十分方便，非常灵活。

此方法优点是设法上体现“进出”，只需一开始设两个一进一出的向量就可以了。但缺点是观察可能犯错误，不是太直观，还是没有真正脱离“形”的影子，有没有更代数化的方法呢？在此基础上，我进行了深入反思，归纳出了如下两种方法。

反思二：图4中，见图①， ， 分别是？琢，？茁的法向量，此时“一进一出”，二面角？琢-l-？茁的大小与< ， >相等，但坐标化后， ， 的指向是观察不出的，怎么办？在二面角？琢-l-？茁的两个半平面上分别取两点A，B，且A∈l，B∈l，此时 ・ >0， ・ >0，这是个惊喜的发现，我们可以把 作为判断法向量指向的工具.先把其他几种情况都罗列出来，若 ， 同时改变指向，见图②，二面角？琢-l-？茁的大小与< ， >仍相等，此时 ・ 互补，此时 ・ >0， ・ 相等；反之互补，可概括为“同号相等，异号互补”。

此方法在法向量设法上不用体现“进出”关系，只要在两个半平面内各找两个点构成一个向量，分别与两个法向量作数量积，判断同号或异号，“同号相等，异号互补”，十分快捷。本题中，求得两法向量 =（1，0，1）， =（0，1，1）不妨在两个半平面内分别选取点C，E，则 =（-2 ， ，0），计算得 ・ 0，故二面角C-AD-E的大小就等于< ， >的补角，即 。此计算真正实现了代数化，使法向量从几何图形中得到了彻底解放。

反思三：从二面角定义入手，如图5，只需在两个半平面？琢，？茁内作两个向量 ， ，起点A，B在棱l上且均垂直于棱，则二面角的大小等于< ， >.这种方法与用平面法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，只需求出两个向量。

如图6，设CC1DA交线段DA（或其延长线）于点C1，EE1DA交线段DA（或其延长线）于点E1，（垂足是否落在线段上对于解题不产生影响，一样是代数方法操作）。二面角大小为< ， >。

由题意， =（0， ，0）， =（- ，0， ）， =（ ，- ， ）， =（2 ，0，0）， =（- ，- ， ），设 =？姿 +（1-？姿） ？姿∈R由 ・ =0即有？姿 ・ +（1-？姿） ・ =0，得？姿= .于是 = + =（- ， ， ）.同理可求 = + =（ ，- ， ），cos< ， >=- ，< ， >= 故二面角C-AD-E的大小为 ，求 的计算量不大，跟前面的方法相比一点也不逊色。

以上三种反思，各有千秋。反思一，“巧设法向量，观察需谨慎”，方法巧妙，但没有真正脱离几何。反思二，“跨出一小步，走向成功路”，只需在传统做法上，加上不起眼的一小步，却是海阔天空。反思三，“棱的法向量，大有用武地”，把求平面法向量改为了求棱的法向量，易理解，可操作性强。

中学数学教学就是“十万个为什么”，需要我们以积极的心态迎接新问题，以积极的行动挑战新问题，多交流，多查阅，多反思。只有这样，我们才能不断提高，不断进步。真可谓：向量暗藏玄机，方向掌控自如；教学暗藏玄机，反思伴我同行.

参考文献：

[1]朱红岩.谈如何解决求二面角大小的法向量法的不足[J].数学通讯.2005，14

[2]换一对法向量，再求二面角[J].数学教学.2007，11