一类带参数的幂指函数极限的解法

摘要：本文利用文献中的两个重要结论，获得了一类幂指函数极限的一个公式，从而获得了解一类带参数幂指函数极限的一种有效的解法.

关键词：幂指函数；极限；极限公式

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0074-02

一、引言

在高等数学教学和数学的考研题中，经常会出现幂指函数的极限：

limf（x）■ （*）

本文利用文献中的两个重要结论，获得求解形如（*）的极限的解法，不仅将幂指函数型的极限转化为较简单的复合函数极限，而且计算过程简单，能够有效地避免带参数的幂指函数极限的解题过程中逻辑上的不严密性.

二、一个幂指函数极限公式及其应用举例

本部分给出，在一定条件下，一类幂指函数极限的一个非常重要的结论及其简单证明，并将其应用到带参数幂指函数的极限，体现其优越性.

定理 对于形如limf（x）■的函数，如果■f（x）=1， ■（f（x）-1）g（x）=b，那么■f（x）■=e■=eb.为了证明这个结论，我们需要引用如下的两个极限公式.

引理1[1，2] ■（1+■）x=e.

引理2[1] 对于形如u（x）■（u（x）＞0，u（x）不恒等于1）的函数，如果■u（x）=a，■v（x）=b，那么■u（x）■=ab.

证明 分两个情况来证明.

（1）当f（x）=1时，则：■f（x）■=1，■（f（x）-1）g（x）=b=0，

从而：■f（x）■=e■=e0=eb.

（2）当f（x）≠1时，由已知条件和引理1知：■[1+（f（x）-1）]■=e，

从而，由引理2及已知条件知：■{[1+（f（x）-1）]■}■=eb. 于是由（1）和（2）知，结论成立.

注：（1）若定理中的xx0换为xx0+，xx0-，x∞，x+∞，x-∞，则相应的结论仍然成立.（2）定理中f（x）可以恒等于1，于是此结果推广了文献[3]的命题2和文献[4]的命题.

例1 ■（■）■；（a＞0，b＞0）

解 因为■■=1，■（■-1）■=■■[■+■]=■lnab=ln■.

故由定理1知：原式=e■=■.

错误解答：■（■）■=■[（1+■）■]■=e■=■.

错误剖析：当a=1，b=1时，表达式■没有意义.

例2 设k是常数，求极限■（1-■）x.

解 因为■（1-■）=1，■-■·x=-k，原式=e-k

错误解答：■（1-■）x=■[（1-■）■]-k=e-k

错误剖析：当k=0时，-■没有意义.

例3[5] 已知f（x）在x=a处可导，且f（x）＞0，n为自然数，求极限■[f（a+■）/f（a）]n.

解 因为f（x）在x=a处可导，所以■f（a+■）/f（a）=1，■[f（a+■）/f（a）]n=■{[f（a+■）/f（a）]n}■=■

原式=e■

错误解答：■[f（a+■）/f（a）]n=■{1+[f（a+■）-f（a）]■}n=■{[1+（f（a+■）-f（a））■]■}

■■=e■

错误剖析：当f（x）是正常数函数时，满足题设条件，但是■却没有意义.

注：从例1，例2和例3中，我们能够知道，利用定理的结论可以很容易的避免在这类带参数的幂指极限的解答过程中逻辑上的不严密性，因为在解答的过程中，相关表达式的分子分母位置没有发生变化.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版 上册）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版 上册）[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]李进，郭军，郑美琳.一类特殊的幂指函数极限求法[M].高等函授学报（自然科学版），2008，21（6）：30-31.

[4]逯文超.型幂指函数极限的一种计算方法[M].河南教育学院学报（自然科学版），1999，8（2）：16-17.

[5]陈文灯，黄先开.数学复习指南（经济类）（2004版文登培训学校考研系列 数学指定用书）[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2003.

基金项目：重庆市教委研究项目（KJ100419），重庆交通大学教改研究课题（1003011）