时间：2022-10-15 04:15:10
苏科版七（下）教材第42页上第19题是一道关于三角形折叠的角度猜想验证的问题，问题如下：
如图1，将ABC纸片沿着DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，探索∠A与∠1+∠2的数量关系，并说明理由.
在研究这个问题时，我们可以分别测量∠A与∠1、∠2的度数，再研究∠1+∠2的度数和∠A的度数之间的数量关系，可以猜想∠1+∠2=2∠A.
但是，这个问题需要说明理由，因此我们需要逐步进行研究. 这里可能要用到三角形外角的一个重要性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和.
首先，我们可以做特殊化处理如下：
如图2，如果纸片沿直线DE折叠，使点A′正好落在直线AC上，此时∠1=∠BEA′，∠2为0°. 根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠BEA′=∠A+∠DA′E=2∠A，因此∠1+∠2=2∠A. 由此可见，猜想成立.
当然，如图3，如果纸片沿直线DE折叠，使点A′正好落在直线AB上，实际上与图2是同一种类型. 此时∠2=∠CDA′，∠1=0°，根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠CDA′=∠A+∠DA′E=2∠A，因此得到∠1+∠2=2∠A. 由此可见，猜想依然成立.
然后，我们再思考这个结论在图1中的一般性的情况下是否依然成立.
证法一：如图4，根据平角的定义和折叠的性质，得：∠1+∠2=360°-2（∠3+∠4）.
又因为∠3+∠4=180°-∠A，所以∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A.
证法二：如图4，因为∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=360°，
且∠3+∠4=180°-∠A′=180°-∠A，∠B+∠C=180°-∠A，
所以得到：∠1+∠2+（180°-∠A）+（180°-∠A）=360°，
则∠1+∠2-2∠A=0，所以∠1+∠2=2∠A.
证法三：如图5，连接AA′. 因为∠1=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，∠2=∠DAA′+∠DA′A=2∠DAA′，
所以∠1+∠2=2∠EAA′+2∠DAA′=
2（∠EAA′+∠DAA′）=2∠A.
由此可见，猜想肯定成立.
通过以上两类图形的研究，我们可以发现，折叠后点A的位置可以在三角形的边所在的直线上，也可以在∠A内. 当折叠后的点在∠A的外部，以上结论是否还成立？于是我们可以作出图6（与图7是同一种类型）.
如图6，因为∠1=∠3+∠A，∠3=∠2+∠A′，所以∠1=∠2+∠A′+∠A=∠2+2∠A，所以∠1-∠2=2∠A.
换成图7，结论就变成了∠2-∠1=2∠A，因此以上的结论肯定是变化了！
同学们，通过以上探究，你们应该掌握了基本的解题方法了吧？我们能否再进一步，解答以下一题？
如图8，如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，你能求出∠EAD、∠ADF、∠1与∠2之间的关系吗？并且说明理由.
结论是∠1+∠2=2（∠A+∠D）-360°，这个结论很特别. 其实，最简单的方法是如下解法：
如图9，延长EA′、FD′交于点P′，延长EA、FD交于点P，
则∠P=∠EAD-∠ADP=∠EAD-（180°-∠ADF）=∠EAD+∠ADF-180°，
所以∠1+∠2=2∠P′=2∠P=2（∠EAD+∠ADF-180°）=2（∠EAD+∠ADF）-360°，
即2（∠EAD+∠ADF）-（∠1+∠2）=360°.
（作者单位：江苏省扬州大学附属中学东部分校）