解三角函数应注意的几个问题

摘 要： 三角函数在每年的高考试题中均占有较大的分值比例.近几年，教学大纲对三角函数的要求在难度上有所降低，经常单独出题，而且较简单，重点考查三角函数概念，同角基本关系式，和差公式，倍角公式，以及三角函数的图像和性质.

关键词： 三角函数 中学数学 最值 解题

三角函数是高中数学中一种重要的函数，在每年的高考中，三角函数试题均占有较大比例.虽然近几年教学大纲对三角函数的要求在难度上有所降低，经常单独出题而且较简单，重点考查三角函数概念，同角基本关系式，和差公式，倍角公式，以及三角函数的图像和性质.但是新课标更注意三角函数知识的系统性和完整性，由于三角函数的内容繁杂、公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，就会出现漏解、增解、错解等现象，根本原因是对题中的条件（包括隐含条件）没有特别注意。那么如何更有效地解三角函数问题，规范解题格式，使会做的题目不失分，是新课标下数学教学研究中的一个重要课题。下面我结合自己的教学实践谈谈体会.

一、函数定义域变化时，注意轴线角

轴线角是指终边落在坐标轴上的角，轴线角不属于任何象限.这些角的三角函数值或为特殊值，或为不存在，由于其特殊性，学生会错误地认为一般的角就是象限角，而忽略了轴线角。在解题中，往往忽视轴线角的存在而致错，因此解题时要特别注意.如：

已知函数y=lg（cosx・tanx）有意义，求x的取值范围.

错解：由lg（cosx・tanx）=lg（sinx）可知sinx>0，那么2kπ

分析：由sinx>0解得2kπ

正解：由cosx>0tanx>0或cosx

x的取值范围为2kπ

通过错解与正解的比较，学生能真正体会化简时定义域发生了改变（特别是正、余切函数的定义域受一定局限，解题时若照顾不到，就会改变解集），从而深入理解轴线角的概念.

二、注意三角函数问题中的隐含条件

出于三角函数的独特性质，会造成解题时若不深入挖掘因此产生的隐含因素，就会产生错误现象.审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题相关的知识进行分析研究，是分析和解决问题的前提.所有数学问题都要仔细审题，三角函数也不例外，读题时就要充分理解题意，把握题目本质，分析、发现隐含条件，以及化简、转化已知和所求的能力，更快捷、准确地解决问题.如：

已知sinx+siny=■，求siny-cos■x的最大值.

错解：由sinx+siny=■得siny=■-sinx.

siny-cos■x=■-sinx-（1-sin■x）=（sinx-■）■-■，

又-1≤sinx≤1，所以当sinx=-1时，siny-cos■x取最大值为■.

分析：上述错解在考生中极为普遍。虽然注意到sinx的有界性，却没有注意到，当sinx=-1时，会导致siny=■-（-1）=■>1，由于sinx+siny=■中的两个变量是相互约束的，怎样利用题中已知的那个等式？如果我们仔细审题，有较强的有界性意识，就会很快找到这道题解答的正确方向.由-1≤siny≤1，sinx+siny=■，先找出条件-■≤sinx≤1，从而当sinx=-■时，siny-cos■x取最大值为■.

有些求最值的问题往往都是在某个给定的区间上，因此要特别注意给定的区间，注意三角函数的定义域和有界性，对于含参数的三角函数式，要重视对参数范围的讨论，这往往就是解题的基本方向.很多时候，三角函数的角或函数值，或者三角形的边或角都会存在限制条件，在解题时不能忽视隐含条件的挖掘，防止出错.

三、注意已知等式中角的范围

在解决三角函数给值求角问题中（即给出一些三角函数值，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值），我们要特别注意题目条件对角的范围的限制，应将已知角的范围尽可能地缩小，避免产生增根.一般来说，范围越小越好.如有以下问题：

若sinα=■，sinβ=■，且α、β为锐角，求α+β的值.

错解：α为锐角，cosα=■=■.

又β为锐角，cosβ=■=■.

且sin（α+β）sinαcosβ+cosαsinβ=■.

由于0

分析：上述解法欠严密，仅由sin（α+β）=■，0

这就说明通过定值求角时，把题设条件中角的范围化简得越小越好，越小越容易确定.当然，对于本题求角，我们还可以通过选取余弦达到缩角的目的.由于0

四、注意三角换元中新元与旧元的等价性

布鲁纳说：“掌握数学思想和方法可使得数学更容易理解和记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’.”因此，解题过程中，教师应有目标、有计划地引导学生体会、提炼其中隐含的数学思想方法，使学生在接受知识的同时，受到数学思想方法的熏陶和启迪，这样才能把提高学生的能力落到实处.

在解三角函数题的数学思想方法中，换元法是一种常见的构造型思维方法.运用这种方法解决数学问题时，通常把原问题中的未知量的代数式用新的变量替换，进而把原来的数学问题转化为含新变量的新问题，然后通过对新问题的求解获得原问题的解.有时在三角函数复习题中，还常见倍角与“1”的问题，二倍角一旦与1联系在一起，一般会出现平方形式.如：1+cos2x=2cos■x，1-cos2x=2sin■x，1±sin2x=（sinx±cosx）■，这些形式历来是考查的热点，这一类问题也有着很好的小综合.如：

求解y=sinx+cosx+sinx・cosx的值域.

错解：令sinx+cosx=t，则sinx・cosx=■，因此原不等式可化为y=■t■+t-■=■（t+1）■-1≥-1.所求值域为[-1，+∞）.

波利亚主张要“不断地变换你的问题”，“直到最后成功地找到某些有用的东西为止”.在解决这类三角函数的问题时，我们就应当尝试将陌生的问题化为熟悉的、便于理解的问题，先要用到换元，保证所求的结果既不扩大又不缩小，关键是遵循等价换元的原则，有时正、余弦函数的值域固定在某一个确定的范围内，解题时改变其约束就会改变解.因为sinx+cosx=■sin（x+■），x∈R，所以t∈[-■，■]，故所求值域为[-1，■+■].

五、注意检验

三角函数中的隐含条件多，是三角习题具有的共性，需要在解题过程中仔细分析，合情推理才会发现，否则容易导致多解或错解.隐含条件挖掘得是否透彻，直接影响解题结果.如以下问题：

已知tanα、tanβ是方程x■+3■x+4=0的两个根，且α、β∈（-■，■），求tan（■）的值.

正解：由韦达定理得tanα+tanβ=-3■，tanα・tanβ=4

tan（α+β）=■=■=■

■

解得tan=■=-■或tan=■=■

由tanα+tanβ=-3■0，可知tanα、tanβ同为负值，α、β∈（-■，0），所以■∈（-■，0），可得tan（■）=-■.

分析：当在三角求值或求角的过程中，出现不止一个解时，一定要注意对结果进行检验，这也是对角的范围没有缩小的一个亡羊补牢的措施.解此类问题对培养学生思维的深刻性和缜密性大有裨益，我们在平时的教学活动中要有意识地提醒学生注意这些问题，这样我们的教学才会更有效，学生才会少犯错误.

总之，在求解三角函数问题时，常需要对特殊角，题目已知条件的隐含条件，角的范围及相应的三角函数值的符号进行讨论，若审题不细不严，就很容易出错.故在以后解答此类问题时，希望同学们要三思而后行，养成审慎思维的习惯.