折纸在初中数学教学中的运用

随着折纸技术的发展，人们在折纸过程中发现许多与数学有关的的问题，并运用几何学知识加以解决.折纸可以作为一个数学问题进行研究，这使得折纸逐步发展为现代几何学的一个分支，成为科学研究和教学的工具.初中几何是初中数学教学的难点，如果能够把折纸活动引入课堂，既可以提高学生的学习兴趣，也可以培养学生的动手能力、观察能力，使学生建立起动手操作与动脑思考的联系，从而促进思维能力的发展.

一、折纸在定理推导中的运用

1. 三角形内角和定理的推导

（1）操作用纸：长方形纸.

（2）操作步骤：①在长方形的AD边上任意取一点P，过点P、B两点折叠，折痕为PB（如图1）；②以同样方法再过点P、C两点折叠，折痕为PC.得到PBC（如图2）.

（3）观察与思考：在PBC中，三个内角∠BPC，∠PBC，∠PCB的和为多少？

（4）思维引导：由于长方形对边AB∥BC，故可得∠PBC=∠APB，∠PCB=∠DPC，从而把PBC的三个内角转移到一个平角上，得出PBC内角和为180°.

（5）定理证明：根据折纸所得的思路，引导学生过三角形一个顶点作对边平行线，完成定理的证明.

2. 含30°角的直角三角形性质的推导

（1）操作用纸：长方形或正方形.

（2）裁出含角的直角三角形的方法：①将长方形（或正方形）纸的一组对边与重合对折，折痕记为（如图3）；②将点A折到EF上，且让折痕通过点B，折痕记为BH（如图4）；③把ABH剪下，即为含30°角的直角三角形.

（3）性质探索：过点H把直角边AH对折到斜边BH上，折痕为GH，点A'为点A的对应点（如图5）.再把点B与点H重合对折（如图6），可以发现折痕正好为A'G，从而得到AH=A'H=A'B，即AH=■BH.

（4）定理证明：根据折纸的发现，引导学生在BH上取一点A′，使A′H=AH，再过点A′作A′GBH交AB于G，再进行证明.

二、折纸在教学活动中的应用

1. ■长方形

《二次根式》单元活动中，给出了常打印纸张的长和宽，让学生通过计算器发现这个比值与■的关系.一般把长与宽的比为■:1的长方形称为■长方形.这个关系通过折纸活动很容易得出.

（1）操作体验

①将A4长方形纸ABCD的短边AB折到AD上，折痕为AE（如图7）.②过点A将AD折到AE上，折痕为AF（如图8）.通过折叠发现点D刚好与点E重合.

（2）思考分析

由AD与AE重合，得AD=AE.若设AB=1，则AD=AE=■，故长方形ABCD的长与宽的比为■:1.

（3）拓展延伸

①把A4长方形纸ABCD较短的对边AB与CD重合对折，折痕为EF（如图9），所得的两个全等的长方形也是■长方形.

②计算：由于ABCD是■长方形，设AB=1，则ED=■AD=■，故EF:ED=1:■=■:1，可得两个长方形均为■长方形.

若把长方形继续对折下去，每次对折所得的长方形均为■长方形（如图10）.

2. 黄金矩形

宽与长的比是■（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给人以协调、匀称的美感.

在《四边形》这章节的教学活动中，教材给出了用长方形纸折黄金矩形的方法.为简化操作，可用正方形进行折叠，并用面积法给出证明.

（1）操作方法

①将正方形纸ABCD的边AB与CD重合对折，折痕为EF.②过点C、E两点折叠.③将BC与CD重合对折，折痕为CH；④过点H，将AH折到BH上，折痕为HG，则长方形BCGH为黄金矩形（如图11）.

（2）计算：连接EH，设正方形边长为2，BH=x，则CE=■.

SHCE=■CE・HB'=■x，又SHCE=S正方形ABCD-SAHC-SBHC-SCDE=2-■x，得■x=2-■x，解得x=■-1，所以矩形BCGH的宽与长的比为■，故矩形BCGH为黄金矩形.

三、折纸在分析中考题中的运用

图形的变换是初中几何的重要内容.折叠是一种轴对称变换，每年的中考题中都有很多与折叠相关的题目.用折纸的方法去分析这些题目，让学生亲自动手尝试，有助于学生理解题目，开阔思路，从而提高解题能力.

例1：（2013 河南省中考）如图12，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当CEB′为直角三角形时，BE的长为 .

在分析题目前，教师可先让学生动手尝试，折出CEB′为直角三角形的情况，并互相交流不同的折法.学生通过尝试可以发现，若B′为直角顶点，则A、B′、C三点在同一直线上，也就是把AB折到对角线AC上（如图13）.若点E为直角顶点，则要把AB折到AD边上，此时四边形ABEB'为正方形（如图14）.若点C为直角顶点，则必须把点B折到CD边上，显然是做不到的，故共有两种情况，对这两种情况分别解答即可得出答案.

例2：（2013 苏州市中考）如图15，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将ADE沿AE折叠后得到AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若■=■，则■=（用含k的代数式表示）．

可设CG=1，GB=k，则AD=BC=k+1，故此题的突破点就在如何用k来表示AB.若让学生动手去折叠一下，在折纸过程中很容易发现，EC可以折到EF上，折痕刚好是EG（如图16），故AG可表示为2+k，根据勾股定得出AB=2■，即可得出答案■.

在折纸过程的不断尝试中，学生会加深对几何问题的理解，不断提高观察能力和想象能力，拓展思路，提高思维能力.把折纸技术引进初中数学课堂，利用折纸进行辅助教学，是提高初中几何教学效果的有效尝试.