基于有限元法的拱结构优化设计

摘要：本文利用有限元法对承受竖直均布载荷的静定拱（三铰拱）和超静定拱进行了高跨比优化设计，得到了如下结论：在保证强度的基础上，拱的高跨比取为1/3能使拱的自重最小。

关键词： 静定拱 超静定拱 高跨比 有限元法 优化设计

Abstract: The finite element method was used to execute the optimal design of statically determinate arch and statically indeterminate arch loaded by a vertical uniform pressure. The conclusion is as follow: on the basis of enough strength, the height-span ratio of arch is taken to be 1/3 can minimize the weight.

Key words: statically determinate arch, statically indeterminate arch, height-span ratio, finite element method, optimal design.

中图分类号：S611 文献标识码：A 文章编号：

0 引言

拱为常见建筑结构之一，型态定义为中央上半成圆弧或抛物线曲线。拱结构比桁架结构具有更大的力学优点。在外荷作用下，拱主要产生压力，使构件摆脱了弯曲变形。在拱结构形状设计中，最重要的是确定合理的拱轴线方程，使拱结构的强度得到充分的利用的前提下具有最好的经济性。在拱结构设计中，一般载荷和跨度是已知量，拱轴线方程主要由拱高决定。拱的高跨比究竟取何值，才能使设计出的拱结构最优，造价最低？对于这个问题很多专家和学者都做出过研究，如文献[1]给出了拱的高跨比的一些推荐值，但对高跨比的最佳取值没有提出建议。文献[2]对静定拱的最优高跨比给出了理论上的推导公式，但对超静定拱未能进行理论推导计算。本文利用有限元软件ANSYS对静定拱（三铰拱）和超静定拱进行了高跨比优化设计，对文献[2]的理论推导结果进行验证和补充。

1 ANSYS优化设计简介

ANSYS优化设计大致有如下七步：1有限元参数化建模；2定义优化变量；3选择优化方法；4执行优化分析；5后处理。

ANSYS提供了两种求最小目标函数的方法——零阶方法和一阶方法，另外还允许用户使用自己开发的算法，每种算法的特点如下：

零阶方法：这种方法利用曲线拟合的方式逼近状态变量和目标函数，对硬件要求低，计算耗时少，但计算精度相对较低。

一阶方法：这种方法使用状态变量和目标函数对设计变量的一阶偏导数。在每

次迭代中，梯度计算(用最大斜度法或共轭方向法)确定搜索方向，并用线搜索法对无约束问题进行最小化此方法精度很高，适合独立变量变化范围很大和较大的设计空间的情况，计算耗时较多。

2 拱结构优化设计模型

2.1 计算模型

本文模型与文献[2]大体一致，拱轴线方程为抛物线方程，竖向均布沿水平轴均匀变化的压力。拱结构形式为静定和超静定两种，如图一所示。拱轴线方程为：

式中：——拱高

——跨度

图1 竖向均布载荷作用下的静定和超静定拱计算模型

2.2 设计变量

由文献[2]可知，计算模型中主要的设计标量为拱高f和拱截面面积A。由于截面面积A由截面的轮廓尺寸（长a,宽b）以及板厚t决定，因此本文给定截面的轮廓尺寸，将板厚t和高跨比f/L作为设计变量。其中约束条件为：

1mm≤t≤10mm

0.1≤f/L≤1

2.3 约束函数

本文将满足强度要求作为约束条件，即计算所得的最大Von-mises应力应小于材料的许用应力180MPa。

2.4 优化目标

优化设计的目标函数为拱结构的自重，即拱结构的体积。当设计变量在约束条件区域内变化时满足约束函数的最小拱结构的体积为最优解。

3 命令流方法

*create,arch! 创建优化分析文件

q=100000! 压力

s=180e6 ! 许用应力

L=1! 跨度为1m

f=0.2 ! 拱高，等于高跨比

h=0.045 ! 截面宽

b=0.045 ! 截面高

t=0.002 ! 板厚

!******建模********

/PREP7

*do,I,0,50,1

x1=I/50*1

y1=4*F/(L*L)*x1*(L-x1)

k,I+1,x1,y1

*enddo

bsplin,all ! 创建抛物线

*do,I,1,49,1

x1=I/50*1

y1=4*F/(L*L)*x1*(L-x1)

HPTCREATE,LINE,1,,COORD,x1,y1,0

*enddo! 创建硬点

et,1,188 ! 定义单元类型

mp,ex,1,2.06e11 ! 定义杨氏模量

mp,nuxy,1,0.3 ! 定义泊松比

SECTYPE,1,beam,HREC

SECDATA,h,b,t,t,t,t ! 定义截面

lmesh,all ! 划分网格

EMODIf,all,SECNUM,1 ! 定义单元截面属性

!******加载********

D,all,uz

d,1,ux

d,1,uy

d,2,ux,

d,2,uy ! 施加位移约束

f,all,fy,-q/51

nsel,s,node,,28

ESLN,S

! （仅静定拱需要）释放中间铰点旋转自由度

ENDRELEASE,,1,ROTZ

nsel,all

esel,all

!******求解********

/solu

solve

!******后处理********

! --------------

/post1

*get,smax,SECR,,s,eqv,max !令smax为最大应力

etable,evol,volu

ssum

*get,vtot,ssum,,item,evol !令vtot为体积

finish

*end

*use,arch ! 运行初始分析

!******优化********

/opt

opanl,arch !指定优化分析文件

opvar,t,dv,0.001,0.01

opvar,f,dv,0.1,1!定义优化变量

opvar,smax,sv,,s !最大应力小于许用应力

opvar,vtot,obj,,,0.00000005 ! 优化目标:最小体积

opkeep,on! 保存最佳结果

optype,first! 采用一阶优化方法

opsave,anfile,opt0 !保存当前优化数据

opexe ! 执行优化

oplist,all,,,1! 列出所有优化步

plvaropt,f! 列出高跨比迭代过程

plvaropt,t! 列出板厚迭代过程

plvaropt,smax ! 列出应力迭代过程

plvaropt,vtot! 列出体积迭代过程

4优化结果

对静定拱和非静定拱高跨比进行优化，在优化过程中，高跨比、最大Von-mises应力以及优化目标体积随着迭代次数的增长的变化情况分别如图2至图7所示。

图2 静定拱 迭代次数—高跨比

图3 静定拱 迭代次数—最大Von-mises应力

图4 静定拱 迭代次数—体积

图5 非静定拱 迭代次数—高跨比

图6 非静定拱 迭代次数—最大Von-mises应力

图7 非静定拱 迭代次数—体积

由图可知，静定拱计算模型的最优解发生在第19迭代步，高跨比为0.34507，板厚为0.195mm，最大Von-mises应力为177.5MPa，最小体积为424070mm3。非静定拱计算模型的最优解发生在第26迭代步，高跨比为0.34452，板厚为0.196mm，最大Von-mises应力为177.6MPa，最小体积为424480mm3。

由文献[2]理论推导可知，拱的高跨比最优解为1/3，与本文的分析结果基本一致，误差为0.65%。并且静定拱的优化结果与非静定拱的优化结果基本一致，这点与文献[2]中的分析一致。

5 结论

综上所述，可以得出如下结论：对竖向均布载荷的静定抛物线拱和非静定抛物线拱，在设计时可将其高跨比确定在1/3左右，以获得最经济的设计方案。

参考文献

[1] 《建筑结构静力计算手册》编写组.建筑结构静力计算手册[M].北京:中国建筑工业出版社,1998:308.

[2] 任治章,张岩.拱结构高跨比的优化设计.南阳理工学院学报[J].2010,4(2):41-43.