从两道例题谈起

在数学教学中，为了加深对所学过的概念、公式、定理等基础知识与相关的数学思想方法的理解掌握，离不开对例题的学习与思考。那么，面对一道例题，是跟随着教材中的思路与解答过程进行简单地分析讲解，还是带着思考的眼光对问题进行一番打量审视.不同的教学取向，将会得到不同的效果。

本文仅以苏教版《必修5》第44-45页中的两道例题为例，为在例题教学时，提出几点建议，供参考。

例1.某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？

这是第44页中的一道例题，教材中提供了如下一种解答：

解：这个剧场个排座位数组成等差数列{an}，其中公差d=2，项数n=20，且第20项是a20=60。

由等差数列的通项公式，得60=a1+（20-1）×2，所以a1=22。

答：这个剧场共有820座位。

从上述解答过程可以看出，这道例题是为了考查等差数列的求和公式的应用而安排的。

大家知道，等差数列的求和公式有两种表达形式，即

显然，教材中给出这种解法是基于公式①来思考的。因为在本题中，是利用公式①来求剧场的座位总数，其中的n=20，a20=60，只有a1未知，为此，在公差d=2时，利用an=a1+（n-1）d求出a1。

上述解法，不仅省去了直接求出a1的运算过程，简化了运算过程，还体现了推导等差数列前n和公式时所用的倒序相加的思想方法。

在教学过程中，若能引导学生这样去审视本题，则对这个例题的理解就会更加深刻。

再看第45页中的一道例题：

例2.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm（如图），已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？

对于本题，教材中给出的解法是：

解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把它绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。

由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95，

因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π，

答：满盘时卫生纸的长度约为100m。

不难看出，本题是一个与我们的日常生活密切关联，且饶有趣味的实际问题。教材中的呈现的解法，显然是将思维固化在等差数列的视角上。其解题的思维分析以及计算过程显得不是那么轻松。是否有更加简明一些的求解方法？回答也是肯定的！其前提是，不要固化我们的思维视角，即未必把问题非看成数列问题。这样，就可以从把问题视为立体几何中的等体积问题来求解，请看以下方法：

设卷筒卫生纸的高度为hmm，卫生纸的总长为xmm。

显然，卷筒卫生纸的体积等于卫生纸拉伸舒展后的体积。

也即，满盘时卫生纸的长度约为100m。

由上述解法，我们很快可以得出以下问题的一般性结论：

上述解法，由于思维视角不落窠臼，揭示了问题之本质，从而使得问题的求解过程异常简洁明了，给人以耳目一新之感！

透过以上两道例题的分析思考，我们不难得到以下对例题教学的几点启示：

其一，要清楚问题考查什么。

教材中例题的设计有不同的意图。如果是新授课后的例题，一般是为了巩固加深对所学过的概念、公式与定理等数学基础知识而安排的，如例1，考查的是理解知识与运用知识的能力。这类例题一般难度不大，但可以从所学知识的不同变式去理解问题；但有的例题，也常常是综合性的问题，既涉及基础知识与基本技能，也可能牵涉到数学思想方法，如例2，这类例题所考查的是较综合的分析问题与解决问题的能力。对于这类例题的学习理解，要注意不拘泥当前所学的知识与方法的束缚，用联系的视角看问题。

其二，要关注思路能否优化。

一个数学问题往往可从不同的角度去审视理解，从而得到解决问题的不同思维路径，而沿着不同的思维路径所演绎出来的不同的问题求解方法，可以是迥然不同的，或迂回繁琐，或明快简洁。鉴于此，在例题的学习中，要养成对同一道例题的不同思维路径所达成的解题过程的繁简程度，进行必要评估比较的习惯。从评估比较的过程中，发现优劣、总结得失，达到增强优化解决问题的思维视角意识，不断积累解题的得失经验，提高自己的数学思维水平。

其三，要考虑问题可否变通。

众所周知，一个数学概念、公式与定理，可以有不同的变式。同样，一个数学问题也可以做出各种各样的变通，或转换问题条件，看结论之变化；或保持结论不变，再搜寻应具备的条件；或透过问题的特殊性，寻觅它的一般性等等。总之，在例题的学习过程中，重视对问题的各种可能的变通进行一番思量探究，不但可以加深对所学例题的理解与内化，还可以起到举一反三的作用，这对于加深理解掌握所学的数学知识技能以及数学思想方法，无疑是大有裨益的。