含间隙平面连杆机构运动精度误差分析

摘要：针对高速运动机构特点，采用连续接触模型，建立了铰链式运动副间隙的有效杆长输出运动误差模型。并以四杆机构为例，运用矩阵法分析了间隙对机构输出误差的影响。

Abstract： Aimed at the characteristics of the high speed motion mechanism， the continuous contact model is adopted， effective length output motion error model of hinged pair clearance is established. By taking four bar linkage as the example， the structure matrix method is used to analyze the effect for output error by the clearance.

关键词：有效杆长；运动精度；运动副间隙

Key words： effective length；kinematic accuracy；pair clearance

中图分类号：TH112 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）31-0136-04

0 引言

由于安装，制造误差等因素使得机构运动副中必然存在间隙。机构间隙的存在使得精密机械的运动发生偏差。因此研究间隙对机械运动精度的影响就显得尤为重要。20世纪40年代，苏联学者波路耶维奇等对机构误差传递规律进行了系统研究[1，2]。目前，国内外许多学者对机构输出误差的随机特征做了大量的工作。文献[3-4]利用有效杆长代替实际杆长，对连杆机构的运动精度的可靠性进行了分析。但文中没有给出旋转角与驱动角之间的函数关系。文献[5-6]给出连杆机构运动精度的概率分析。文中也没有给出旋转角与驱动角之间的函数关系，只是假设旋转角在0-360度服从均匀分布。文献[7]给出了输出角与输入角之间的关系，进而给出了含间隙连杆机构的最优化设计。但本文也没有给出旋转角与驱动角之间的函数关系。笔者在以上文献的基础上，综合考虑了机构输入误差，构件加工误差和运动副间隙的变化，把实际杆长用有效杆长来代替，并得到了在连续接触状态下旋转副旋转角与驱动角之间的确切函数关系。应用矩阵法理论，建立了含间隙平面机构误差模型，通过平面四杆及算例，检验了模型的可行性，从而为评价机构的输出精度提供了一个定量的尺度，为机构的优化综合提供了有价值的参考。

1 含间隙平面机构的有效杆长模型

当机构运动速度较高时，运动副中销轴和轴套孔间接触的可能性较大，偶尔也发生分离现象，但大多数时间是处于连续接触状态中。因此本文建立了铰链式连续接触的有效杆长模型。

如图1所示，销轴的中心应在误差圆O上随机分布，机构的位置矢量方程可表示为

lABe=lOAeiθ+reiα（1）

式（1）的实部与虚部分别为

lABcosθ1=lOAcosθ+rcos（-α）lABsinθ1=lOAsinθ+rsin（-α） （2）

又（2）式两边平方得

l2AB=l2OA+2lOArcosαcosθ-2lOArsinαsinθ+（rcosα）2+（-rsinα）2

（3）

由于r较小，所以省略高次项后，可得

l2AB=l2OA+2lOArcosαcosθ-2lOArsinαsinθ

=l2OA+2lOArcos（α+θ）

则有

lAB=lOA

≈lOA[1+cos（α+θ）]

=lOA+rcos（α+θ）（4）

则lAB为lOA的有效杆长。

再由正弦定理=2R，R为ΔAOB的外接圆半径。可得

α=arccos-θ （5）

2 含间隙平面四杆模型

如图2所示，有向量闭环定理得

lABe+lBCe-lCDe-lAD=0 （6）

由（6）式可得

lABcosθ1+lBCcosθ2-lCDcosθ3-lAD=0lABsinθ1+lBCsinθ2-lCDsinθ3=0 （7）

如图3所示，把lAB，lBC的有效杆长LAB，LBC代入（7）式得

LABcosθ1+LBCcosθ2-lCDcosθ3-lAD=0LABsinθ1+LBCsinθ2-lCDsinθ3=0 （8）

其中LAB=lAB+rcos（θ1+α）α=arccos-θ1

LBC=lBC+Rcos（θ2+β）β=arccos-θ2

（8）式为含间隙平面四杆的有效杆长模型。

3 运动输出均值模型的建立

机构的位置输出输入关系可由下面方程组描述

F（U，V，L）=0 （9）

U=（u1，u2，…，un）为n个机构输出参数向量；L=（l1，l2，…，lp）为p个机构参数向量；

V=（v1，v2，…，vm）为m个机构输入参数向量；F=（f1，f2，…，fn）为n个运动方程。

由（9）式得 U=（V，L） （10）

将（10）式对时间t求一阶导和二阶导，可得

U′=-（）-1V′ （11）

U″=-（）-1[（）V′+（）U′]（12）

4 机构运动精度误差模型

由（9）式得到输出运动误差方程

ΔU+ΔV+ΔL=0 （13）

则有

ΔU=-（）-1ΔV-（）-1ΔL（14）

令Z1=（）-1，Z2=（）-1，则有

ΔU=-Z1ΔV-Z2ΔL （15）

将（14）式对时间求导，得

ΔU′=-（）-1[（）+（）Z1]ΔV-（）-1[（）+（）Z2]ΔL-（）-1ΔV′（16）

令Z3=（）-1[（）+（）Z1]，

Z4=（）-1[（）+（）Z2]，则

ΔU′=-Z3ΔV-Z4ΔL-Z1ΔV′ （17）

将（16）式对时间求导，得

ΔU″=-（）-1[（）+（）Z1+2（）Z3]ΔV-（）-1[（）+（）Z2+2（）Z4]ΔL-2（）-1[（）+（）Z1]ΔV′-（）-1ΔV″ （18）

令Z5=-（）-1[（）+（）Z1+2（）Z3]

Z6=-（）-1[（）+（）Z2+2（）Z4]，

则ΔU″=-Z5ΔV-Z6ΔL-2Z3ΔV′-Z1ΔV″ （19）

令D=（Z1，Z2），D1=（Z3，Z4，Z1）D2=（Z5，Z6，2Z3，Z1），ΔX=（ΔV，ΔL）T，ΔX1=（ΔV，ΔL，ΔV′）T，ΔX2=（ΔV，ΔL，ΔV′，ΔV″）T ，则有ΔU=DX，U′=D1X1，U″=D2X2 （20）

式（20）中D，D1，D2为灵敏度矩阵，ΔX，ΔX1，ΔX2为设计变量误差矩阵。

5 含间隙平面四杆运动精度误差分析

由图2可得式（7），由式（7）消去θ2可得

θ3=2arctan （21）

其中A=lAB-lADcosθ1，B=-lABsinθ1，C=

由式（7）可得

θ2=arctan （22）

如图4所示平面四杆结构，以M点的位置坐标（x，y），连杆l2的摆角θ2和摇杆l3的摆角θ3为研究对象，则输出向量U=（x，y，θ2，θ3），输入向量U=θ1，结构向量L=（l1，l2，l3，l4，l5，θ5）。M点的位置坐标为

x=L1cosθ1+l5cos（θ2+θ5）y=L1sinθ1-l5sin（θ2+θ5）（23）

L1cosθ1+L2cosθ2-l3cosθ3-l4=0L1sinθ1+l2sinθ2-l3sinθ3=0（24）

其中L1=l1+rcos（θ1+α）α=arccos-θ1，

L2=l1+Rcos（θ2+β）β=arccos-θ2

由（23）式和（24）式可得

F=x-L1cosθ1-l5cos（θ2+θ5）y-L1sinθ1+l5sin（θ2+θ5）L1cosθ1+l2cosθ2-l3cosθ3-l4L1sinθ1+l2sinθ2-l3sinθ3 （25）

有关雅可比矩阵为

=1 0 l5sin（θ2+θ5） 00 1 l5cos（θ2+θ5） 00 0 -L2sinθ2 l3sinθ30 0 L2cosθ2 -l3cosθ3 （26）

= L1sinθ1-L1cosθ1-L1sinθ1 L1cosθ1 （27）

=-cosθ1 0 0 0 -cos（θ2+θ5） l5sin（θ2+θ5）-sinθ1 0 0 0 sin（θ2+θ5） l5cos（θ2+θ5） cosθ1 cosθ2 -cosθ3 -1 0 0 sinθ1 sinθ2 -sinθ3 0 0 0

（28）

将式（26），（27），（28）对时间t求导，得

（）=0 0 l5ω2cos（θ2+θ5） 00 0 -l5ω2sin（θ2+θ5） 00 0 -L2ω2cosθ2 l3ω3cosθ30 0 -L2ω2sinθ2 l3ω3sinθ3 （29）

（）= L1ω1cosθ1 L1ω1sinθ1-L1ω1cosθ1-L1ω1sinθ1 （30）

（）=

ω1sinθ1 0 0 0 ω2sin（θ2+θ5） l5ω2cos（θ2+θ5）-ω1cosθ1 0 0 0 ω2cos（θ2+θ5） -l5ω2sin（θ2+θ5）-ω1sinθ11 -ω2sinθ2 ω3sinθ3 0 0 0 ω1cosθ11 ω2cosθ2 -ω3cosθ3 0 0 0

（31）

将式（29），（30），（31）对时间t求导，得

（）=0 0 -l5ω22sin（θ2+θ5） 00 0 -l5ω22cos（θ2+θ5） 00 0 L2ω22sinθ2 -l3ω32sinθ30 0 -L2ω22cosθ2 l3ω32cosθ3 （32）

（）= -L1ω12sinθ1 L1ω12cosθ1 L1ω12sinθ1-L1ω12cosθ1 （33）

（）=

ω12cosθ1 0 0 0 ω22cos（θ2+θ5） -l5ω22sin（θ2+θ5） ω12sinθ1 0 0 0 -ω22sin（θ2+θ5） -l5ω22cos（θ2+θ5）-ω12cosθ1 -ω22cosθ2 ω32cosθ3 0 0 0-ω12sinθ1 -ω22sinθ2 ω32sinθ3 0 0 0（34）

将位置输出向量U，式（26），（27）代入式（11），就可求出速度输出U′。再由式（29），（30），（12）就可求出加速度输出向量U″。最后将以上各式代入式（20）就可得到该平面四杆的运动输出位置误差向量ΔU，运动输出速度误差向量ΔU′，运动输出加速度误差ΔU″。

6 数值算例

如图4所示平面四杆机构，已知各构件几何尺寸为：曲柄长度l1=50mm，连杆长度l2=160mm，摇杆长度l3=160mm，支架长度l4=200m。支臂角度θ5=0.785rad，支臂长度l5=40mm，θ1=0，ω1=10rad/s，R=15mm，r=10mm，Δθ1=0.008rad/s。构件的几何尺度误差为理想值的0.015倍。试求此四杆机构运动输出精度误差。

通过前面介绍，利用Matlab编程，可得位置M的位移，速度，加速度曲线，图5为位移变化图，图6为速度变化图，图7为加速度变化图。三个图的横坐标为θ1，纵坐标为位移，速度，和加速度。

7 结论分析

①由平面连杆机构结构特性可知，利用矩阵法分析分析其运动特性具有规范，简单，明了，便于应用的特点。

②运用一平面四杆机构，说明了该方法在建立平面四杆机构运动学微分方程的全过程。

③通过算例，验证了四杆机构质心的运动情况，呈现出周期性的运动变化，并且在每个周期内也符号实际的运动特征。

参考文献：

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