难得一见的好题为何得分不尽人意

笔者参加了2013年浙江省舟山市初中毕业生学业考试数学试卷命题及第22题的阅卷工作，命题时我们怀着美好的懂憬，把握试题特色与亮点，围绕立足基础，注重教材开发；体验数学活动，提高探究能力；稳中求新，关注学生学习能力；突出过程与思想方法的考查，难度系数主观愿望控制在0.65左右.但阅卷时美好的愿望成为泡影，实考难度系数为0.43，考生的平均得分为4.33分（满分10分），学生在解答过程中出现了许多错误，得分率偏低，值得我们在教学中反思.本文试就试题特色及考生解答中的典型错误作一分析，希望对今后的数学教学有一些启示.

原题呈现：小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？

（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；②说出该画法的依据.

（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：

①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a，b的交点构成等腰三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分.

②在图3的画板内，作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求画出图形，并保留作图痕迹.

请你帮小明完成上面两个操作过程.（必须要有方案图，并要画在画板内）

图1图2图31试题特色与亮点

1.1试题立意新颖，构思别具匠心

本题取材于实际生活中的具体情境，以课本内容为载体，以问题应用与解决问题的思维活动为主线，构思巧妙.试题结构体现生成与应用的基本过程，新颖别致且不失严谨.充分考虑和兼顾了不同学生的思维方式、思维水平、巳有的数学活动经验等方面的差异.注重考查学生的实践操作、自主探究能力，呈现了一个从认识、理解、解释到应用与拓展的完整的数学探究过程.渗透了用运动、变化、联系、发展的观点来思考问题的转化思想.命题者执着于能力立意、素养立意的理念，是一道难得一见的好题，值得我们体会、学习.

1.2突出知识联系，关注经验积累

“直线a，b所成的角跑到画板外面去了”的部分是没有提供图形的，这暗示着学生必须动手操作、自主探索，有利于学生积累活动经验.

从第（1）题到第（2）题的问题解决过程中，都运用了角的平移.从第（2）①题到第（2）②题的问题解决过程中，都运用了等腰三角形的有关知识，考题突出知识之间的联系.学生通过第（1）题的探究，即“两直线平行，同位角相等”的探索过程，积累了一些活动经验，这种活动经验的迁移对第（2）题有一定的帮助，事实上，第（2）题所运用的观察、试验、探究等数学活动经验与第（1）题中的数学活动经验是一致的，关键是学生能否真正地将所获得的经验与方法在新的问题情境中加以运用与实施.此题在关注知识内涵的同时，充分关注到对学生实践和探究能力的考查.

1.3关注过程方法，重视思维能力

数学教学是一种“过程教学”，它即包括知识的发生、形成、发展的过程，也包括人的思维过程.该题从寻找相等的角，构造等腰三角形，到等腰三角形“三线合一”性质的应用，开发了知识的“生长过程”，实现过程与结果并重.但思维过程是隐性的、开放的.解答过程中，以学过的知识结构作为起点，从寻找相等的角为切入点，让学生探索研究.以已有的方法结构作为起点，在作PC∥a或PC∥b的基础上，只要相应的平移即可截得等腰三角形与“原等腰三角形”相似.再运用等腰三角形“三线合一”性质作出角平分线，从第（1）～（2）题设问，创设一种能使学生积极思维的环境，给学生提供了思维的空间，让学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，体验探索活动和思维活动的高级境界.

2典型失误及分析

失误1：忽视限制条件，第（1）～（2）题常见的错误（如图4）：就是延长到画板外面形成角进行测量，或是延长到画板外面形成角再作两腰相等，从而作出等腰三角形，或再作角平分线.

分析：学生理解问题不全面，不能深刻地理解题中信息之间的关系并有效地将它们运用到解题过程中，同时，主观臆测，任意想象，缺乏空间观念也是造成失误的主要原因.

失误2：不习惯于画图，不会合理使用学具.

分析：对于需要画图的数学题，有些学生不会合理使用学具，对第（1）、（2）题是否要按尺规作图不理解，看不懂的乱画现象严重.有些学生不能主动地按问题的要求作出图形，不能充分发挥学具的功能.如第（2）②题，部分学生作底边上的中垂线，并没有按尺规作图要求解题.

失误3：数学知识上的缺陷所造成的错误.

分析：如图5，有部分学生取AB边上的中点和底边上的中点，连CD就是所求的角平分线.学生虽然了解等腰三角形顶角的角平分线就是底边上的中垂线，但错误地将中线理解成中垂线或角平分线.

图4图5图6失误4：缺乏操作实验的经验.

分析：在平时教学中，不少教师或学生怕浪费时间，不太重视操作实验，学习时遇到操作实验类问题，源于形式，学生参与程度不够，数学操作实验方面的经验不足，当遇到这类题目时，不知道操作程序和具体的操作要点，因此很难顺利解答这类操作实验探究题.

失误5：解题策略上出现偏差，造成思路受阻或解题时间过长以致做错或即便做对也因费时费事而有策略性错误.

分析：弃简求繁，如图6，第（1）题作两条平行线，由平行四边形对角相等，答案虽然正确，但对解决第（2）题带来麻烦.第（2）①题因学生不能有效地构造出等腰三角形，解题时间过长，对第（2）②题思路影响而造成策略性错误.再看作图痕迹，等腰三角形的底边是凑出来的.

失误6：由于心理障碍或缺乏正确的心理态势而导致错误.

分析：由于学生阅读理解和解决问题能力差，不能从题目中读出有效的信息，特别是“直线a，b所成的角跑到画板外面去了”，并把其余部分的图形放置画板内探究，学生一时想不到测量办法，造成心理紧张而导致错误.从卷面上很难了解学生解题时造成错误的真实原因，但从考后师生交谈和推测可知，由心理因素出错的约占20%.

3教学反思

3.1本题究竟难在哪里

本题源于浙教版《义务教育课程标准实验教科书・数学》八年级上册第一章“目标与评定”中的一道题.源于教材、高于教材，试题的呈现形式新颖独特，命题者打破了传统的“条件――结论”型的推理模式，提供了一个“探究――猜想――实验――说理”的数学环境.本题究竟难在哪里？笔者在阅卷的同时也在努力从学生的角度来思考这个问题.第（1）题是课本原题，应该不难，就是因为该题对学生有空间想象能力的要求.但我们也认识到初中学生的空间想象能力还处于发展期，所以用课本原题作为考题，使学生从直观和操作出发并且回归到直观，尊重了学生的认知规律.第（2）①题构造等腰三角形并考查逆向思维的能力，命题立意较高，有一定的难度，试题需要一定的区分度.第（2）②题“直线a，b所成的角跑到画板外面去了”的部分是没有提供图形的，因此在画板内探究，对学生探究能力有一定的要求.但学生只要把等腰三角形底边上的中垂线转化为角平分线，问题就迎刃而解了.

3.2是命题的迷失还是教学的迟滞

试题把握知识内容和学生的认知规律设计适当的探究性问题，通过问题的设置让学生感受通过平移可以改变角的位置，从而进一步探究出等腰三角形的画法，反过来将等腰三角形的底角平移到相应的位置，最后探究出跑出去的角的平分线的画法，找到数学知识与生活实际问题的结合点.在这一探究活动过程中积累了数学活动经验，培养学生逆向思维的能力，考查学生的探究与发现能力，命题应该符合新课标理念.那么后者应该反思，我们的教师在教学过程中，脱离课本，数学技能缺失，缺乏数学活动经验，对数学思想方法的应用意识不强，学生阅读理解、探究问题和解决问题的能力差.

3.3关注学生发展，体现教学价值

《课标（2011年版）》倡导的理念：“有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，本题评价关注的是新情境中学生学习的过程，考查关注的是新领域中学生研究的能力.因此在平时教学过程中，以学生为主体，发挥学生的动手操作能力与推理能力，这也正是命题者的理想与追求.同时，也将教师和学生从“题海”中拯救出来.基于命题者这样的认识、思考与实施，必然对数学教学起到良好且积极的导向作用，必须会促进教师教学行为与学生学习行为的自我超越.

作者简介俞凯，男，1957年生，浙江普陀人，中学高级教师，舟山市初中数学学科带头人，舟山市普陀区初中数学名师工作室首席导师，主要研究中学数学命题和课堂教学，在全国多种刊物发表中小学数学教育教学论文30余篇.

徐海华，男，1970年生，浙江定海人，中学高级教师，定海第五中学教务处主任，定海区中学数学骨干教师.