“切线”巧探路 “斜率”巧破解

数学是关于数与形的科学，数与形的有机结合是数学解题的基本思想；数学是关于模式的科学，这反映了数学解题时，需要进行“模式识别”，需要建构标准的模型。

本文通过一类高考题想说明数形结合中切线、斜率、截距的使用。同时寻求一种方法，努力使学生整体把握数学解题的通性通法，让学生抓住通性通法的本质，科学有效地实施解题分析形成解题思维链。

例如：设f（x）= （x>1），是否存在实数a，使

得关于x的不等式lnx

若存在，求出a的范围，若不存在说明理由。

解：不等式lnx

当a=1时，y=a（x-1）恰为y=lnx的切线，切点为（1，0）。x∈（1，+∞），lnx

当a>1时，x∈（1，+∞），lnx

当0

当a≤0时，x∈（1，+∞），lnx

综上所述：a≥1。

由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想，使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。

例1：设f（x）=ex+ ，

y=f（x）是否存在零点，若存在

求出零点个数，不存在说明理由。

解：f（x）=ex+ 的零

点f（x）=ex+ =0的根

ex= 的图像交点a-x= 的图像交点。

当a=1时，y=f（x）有一个（如图5所示）。

当a

当a>1时，即y=a-x图像向上平移，有两个交点。

综上可知，当a=1时，y=f（x）有一个零点，当a>1，y=f（x）有两个零点。

化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。本题一直在转化，从零点问题转化到方程的根，从方程的根转化到图像交点问题，最终转化到熟悉易画的两个图像上。

此类题突出的数学思想特点就是数形结合、划归转化、分类讨论，切线的切入，斜率、截距的变换使问题得到有效解决，解题后对题进行反思，通过有限道问题的训练来获得解答无限道问题的解题智慧，这正本文的目的所在。

参考文献

[1]吴成强.“特殊”探路 巧解“一般”——定区间上参数范围问题的求解策略[J].中学数学参考（上旬），2013（3）

[2]施金凤.浅谈数学解题后的反思[J].数学通报，2008（5）

[3]程新展.高中数学有效教学的六个着力点[J].中学教育，2010