时间：2022-10-11 05:08:38
匈牙利数学家路莎・彼得说：“数学家们也往往不是对问题进行正面的攻击，而是将它不断地变形，直到把它转化为能够解决的问题。”解题的过程就是从题目的条件不断向解题目标变形、靠近的过程。因此，利用目标导航，进行灵活转化、化归，是让解题思路来得自然的重要途径。
对于由递推关系所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化，从而化归成等差数列或等比数列，进而利用等差、等比数列以及累加、连乘的方法求出数列的通项。
递推数列的通项求解大致有如下几类：a=a+f（n）、a=af（n）、a=pa+f（n）、a=pa+qf（n）。事实上以上几类都可以看成a=pa+qf（n）类来解决，而a=pa+qf（n）又可以转化为a=a+f（n）解决。下面举例说明。
类型1：数列{a}中a=1，a=a+（2n+1），求数列{a}的通项a。
分析：数列求通项的本质就是等差数列通项推到思想――累加法的应用，移项以后，采用累加法，就可以利用等差数列求和，得到数列的通项。
解：因为a=a+（2n+1），所以a-a=（2n+1），
从而a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a，所以a=n。
点评：本题可以看成a=a+f（n）型问题，当f（n）=c（c是常数）就是等差数列；当f（n）=cn+d（c、d是常数且c≠0）、f（n）=c（c是常数且c≠0）就可以用累加法利用等差数列、等比数列求和，问题得以解决。
类型2：数列{a}中a=1，a=2a+4，求数列{a}的通项a。
分析：本题可以采用两种方法：法一：构造新数列a+k=2（a+k），展开与原来的表达式相同，求出k，从而化归成等比数列的通项求解；法二：两边同除以2后就可以化归为类型1的问题解决。
解：由题意可得a+k=2（a+k），展开并与原表达式比较得k=4，所以=2，令b=a+4，则b=5，从而数列{b}是以5为首项，2为公比的等比数列，即b=5・2，所以a=5・2-4。
点评：本题a=pa+f（n）型的一种情况，f（n）=4是常数，当f（n）=2，此时采用上述解法，就不如采用方法二来得快，解法如下：
a=2a+2，两边同除以2，得=+，令b=，则b-b=，b=，这样就化归为题类型1解决。如果f（n）=2n+1呢？此时仍可采用两边同除以2，得=+，则可化归为令b=，则b-b=，b=。利用累加法，利用等比数列求和思想――错位相减法，求出的和，问题就能顺利得到解决。
总之，对递推数列的求解，只要能转化为b-b=f（n），然后利用累加法，就能求出数列{b}的通项，其他问题都能得以顺利解决。
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