回避分类讨论,优化解题策略

运用分类讨论的思想方法，可以化整为零，化繁为简，化全面解决为局部解决，这是我们解题的一个重要策略。但在一般情况下，使用这一方法的过程较为繁琐，对解题者的思维严谨性要求较高，因此也容易造成解题失误。我们在要求掌握好这一方法的同时提倡大家克服某种思维定势，学会简化或避免分类讨论的一些方法，以达到方法上的优势互补。

一、补集策略（即正难则反）

解决某一问题过程中，当按照习惯思维方式从正面进行思考,从正面入手情况复杂，不易解决，则可考虑从相反方向去思考，将其等价转化为一个较简单的问题来处理，问题往往容易得到解决。

例1.马路上有编号为1、2、3、…、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有种。

解析：关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑。因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有C35=10种。故满足条件的关灯的方法共有10种。

评析：本题采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法。其实它就是补集思想。

二、整体策略

学生在考虑问题时，通常会从局部因素入手，尽可能地分散难点，各个击破，以便将问题逐一解决。但有些问题，从局部条件入手相当复杂，须分类讨论，若从整体的角度来看，就会有新的发现。

例2、设定义在[-2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围。

分析：本题若用分类讨论，须对1－m，m是否在同一单调区间分类，情况较为复杂，但若从整体的角度考虑简单的多。

解析： f（x）为偶函数，

f（－x）= f（x）= f（|x|）

不等式f（1－m）＜f（m）?圳f（|1－m|）＜f（|m|）

又x∈[0，2]时，f（x）是减函数，

｜1-ｍ｜＞｜ｍ｜-2≤1-ｍ≤2-2≤ｍ≤2

解得 -1≤m

三、共性策略

寻求不同类问题的共性，利用这一共性回避分类讨论，应是一种比较好的解题策略。

例3、若函数f（x）=ax+ｌｏｇa(x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是（）

分析：指数函数和对数函数的底都是待定参数a，一般情况下会考虑用分类讨论的方法求解，但若注意到两个函数具有相同的单调性，那么它们的最大值与最小值总是在一个闭区间的两个不同端点处取得，由此出发可避开讨论。

解析：ax与ｌｏｇa(x+1)有相同的单调性，

f（x）是给定区间上的单调函数。

由a0+ｌｏｇa1+a+ｌｏｇa(1+1)=a得ｌｏｇa2=－1，

四、数型结合策略

根据题设条件的几何意义，绘出问题的辅助图形，通过对图形的分析得出正确的结论。

分析：本题若直接解不等式，须两边平方解一个一元二次不等式，还必须对参数a进行讨论，非常麻烦，而采用数型结合比较简捷。

五、反客为主策略

利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即参变量与主元的角色换位），常常可以简化问题的解决。

例5、设不等式2x－1>m（x2－1）对满足|m|≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。

分析：直接解答，可能要考虑m，要对m的可取范围进行讨论，但思路不清。可考虑主元与参变量的关系，变换角色。

解析：令f（x）=－（x2－1）m＋2x－1，m∈[－2，2]，则原不等式等价于f（m）>0（m∈[－2，2]）恒成立，由于f（m）是关于m的一次函数或常函数，故有

ｆ（2）＞0ｆ（-2）＞0

即2（1-ｘ2）＋2ｘ-1＞0-2（1-ｘ2）＋2ｘ－1＞0

俗话说：解题有法而无定法。这正说明了数学问题的纷繁复杂，解题技法的灵活多变。一个数学问题摆在面前，其思维的触须是多端的，以上所述的几种解题策略只是导引途径，为了能够更有效地提高解题能力，还要我们学生在解题实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。