重心问题探讨

浙江版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册有一个课题学习，内容是“简面图形的重心”.许多老师对这一内容很不熟悉，并且对其中的一些看似简单的问题都不甚了解，因此，在教学中屡犯诸如“平面图形的重心必在该图形的面积等分线上”等知识性差错.“以其昏昏”是不可能“使人昭昭”的，看来很有必要对一些似是而非的问题有一个清晰的了解.

重心原系物理学的专有名词，是指作用于物体的各部分的重力，看做一个大小等于各个重力总和的力作用于物体的某一点，这个点就叫做物体的重心.说简单一点，重心就是能支撑物体保持平衡的那一点.通常我们研究匀质物体的重心.教学中平面图形的重心就是借鉴形如该平面图形的匀质薄片物体的重心得到.

一、怎样确定平面图形的重心

通常有四种方法：实验法、面积法、顶点（质点）法和极限法.

1.实验法

实验法是采用悬挂的方法.

例确定ABC的重心：

（1）先剪一个ABC纸板，并在近点A、点B处打上光滑小圆孔.

（2）用一枚小针，其上先悬挂一个小铅锤，再穿入ABC纸板的A处小孔，当纸板静止不动时，记下铅垂线位置.

（3）换一个小孔B，再做一次，又记下铅垂线位置.

则两条铅垂线交点O即为ABC的重心.

2.面积法

匀质物体质量是均匀分布的，故匀质薄片的质量与其所占面积成正比，由此可利用等分面积求重心.

方法如图1，作ABC的BC边上中线AD、AC边上的中线BE（则SABD=SADC，SBCE=SBEA），AD、BE的交点O即为ABC的重心.

3.顶点（质点）法

把求ABC的重心，归结为求顶点（质点）A、B、C的重心.

方法1先求点B、C的重心，点B、C的重心在线段BC的中点，设为D，又设D处的重力为FD.再求点D、A的重心：点D、A的重心在DA上，设A处的重心为FA，再设DA上的点O为ABC的重心.

根据力学中的杠杆原理，

OD·FD=OA·FA，

但FD∶FA=2∶1，

所以OD∶OA=1∶2.

即OD=13AD，

由此可确定ABC的重心O.

方法2先求点B、C的重心：当B、C的重心是线段BC的中点D，此时点D、A的重心在线段DA上.再求点A、C的重心，同理点A、C的重心是线段AC的中点E，此时B、E的重心在线段BE上，所以AD、BE的交点O即为ABC的重心.

4.极限法

把ABC的AB边n等分，过分点作BC的平行线，这n—1条平行线把ABC分成n—1个梯形及一个小三角形.当n∞时，这些梯形夹在AB、AC间平行于BC的无数条线段，这个小三角形顶点A.而每一条这样的线段的重心，即无数条这样的线段的中点及点A就组成ABC的中线AD.所以ABC的重心在中线AD上.同理也在中线BE上.所以AD、BE的交点就是ABC的重心.

对于求四边形（乃至多边形）的重心，可转化为求三角形的重心均求之.

二、几个值得关注的问题

问题1利用悬挂法求三角形的重心，铅垂线是否一定平分三角形的面积？

答案不一定.当悬挂点在三角形的顶点时，铅垂线必平分三角形的面积；当悬挂点不是三角形顶点时，铅垂线不平分三角形的面积.

问题2重心是否一定在三角形面积的等分线上？

答案不一定.其实同问题1已知，因为悬挂后三角形的重心必在悬挂线的位置上，而当悬挂点不是三角形顶点时，铅垂线不平分三角形的面积，即可知道.现再举例说明：如图2：AD是ABC的BC边上的中线，设ABC重心为O，则由1已知AO=23AD.若EF∥BC，且SAEF=S四边形EBCF，又设AD、EF交于O′，则AO′∶AD=1∶2，AO′=22AD，说明O′不是三角形ABC的重心，即重心不一定在三角形面积的平分线上.由此说明面积法定多边形的重心时，面积的二等分线必须过一个顶点.

问题3重心是否一定在形内？

答案不一定.因为轴对称图形上的两个对称点的连线被对称轴垂直平分，所以轴对称图形的重心必在对称轴上.同样中心对称图形的两个对称点的连线必过对称中心，所以中心对称图形的重心必在对称中心.圆环是中心对称图形，其对称中心在圆环所在圆的圆心.显然此时圆心不在圆环内.