一道竞赛题的解法及其推广研究

1956年全国首次数学竞赛在四个城市举行，当时引起了广泛的关注.本文对北京市该次数学竞赛第二试试题中的第七题给出了几种解法，并对其进行了推广、研究.

原题如下：求方程x-2xsin+1=0的所有根.

解法一：由于“1”的特殊性，将原题中的“1”拆分，并配方.

x-sin+cos=0

因为x-sin≥0，且cos≥0

所以x-sin=0………（1）cos=0………（2）

由（1）知|x|=|xin|≤1

由（2）知=+kπ?圯x=1+2k，k∈z

由（1）、（2）得x=±1

解法二：x-2xsin+1=0

解：方程的解x≠0，否则若x=0，则1=0，矛盾.

原方程可变形为sin=

由正弦函数的有界性和均值不等式可得

1≥sin=≥1

所以sin=±1

把sin=±1代入原方程解得x=±1

解法三：“配方法”

x-2xsin+sin+1-sin=0

即（x-sin）+1-sin=0

x-sin=0………（1）1-sin=0………（2）

由（1）得x=sin，由（2）得sin=±1，所以由（1）、（2）得x=±1即为原方程的解.

以上三种解法反映了题目的结构特征，现做如下深入探究及推广.

推广1：改变方程的系数：ax±2abxsin（x）+b=0（a≠0，b≠0），是否仍然成立？

证明：将原方程变形为（ax-bsin）+bcos=0

得ax-bsin=0………（1）cos=0………（2）

由（2）推得sin=±1，代入（1）式得x=±

同理可考虑ax+2abxsin（x）+b=0

推广2：方程x-2xsin+1=0的解情况为：

（1）当k≠±2时，方程无解；

（2）当k=±2时，方程有解，且为x=±1.

证明：方程变形为x-sin+cos=0

可得：

x-sin=0cos=0?圯x=sin=+nπ（k∈z）?圯x=±1x=+nk（k∈z）

如果k≠±2，方程x=±1x=+nk（k∈z）无解.

当k≠±2时，|x|≥2

x≠±1

所以可得出结论，原题中“sin”中πx的系数仅限于±，即k=±2.

推广3：由于正弦函数与余弦函数有相同之有界性，故产生问题：将方程中正弦函数换成余弦函数，结论成立吗？

方程x-2xcos+1=0是无解的，

证明：首先x=0不是方程的解，原因同上.

将方程变形为cos=

1≥cos=≥1

代入原方程，解得x=±1，和cos=±1矛盾.所以原方程无解，不能做如此推广.

相同之方法亦可证方程ax+2abxcos（x）+b=0（a≠0,b≠0）无解.

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