从相似入手探索存在性问题

近年来的中考中，出现了一类判断是否存在一点或一条线段使某一结论成立的问题．解答它们，要注意根据题设条件，从相似入手，先找到有关线段之间的关系．现以近几年的中考题为例介绍如下：

例1 （湖南省长沙市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B.

（1） 求证：ABP∽PCE；

（2） 求等腰梯形的腰AB的长；

（3） 在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶CE＝5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

分析 （1） 在ABP和PCE中，∠B＝∠C. 要证明这两个三角形相似，只要再证明有一组角对应相等就可．（2） 作出等腰梯形的两条高AF及DQ．由于∠B＝60°，要求AB的长，应先确定BF的长．

（3） 假设存在符合要求的点P，则必存在实数x＝BP，使得DE∶CE＝5∶3．接下去，应构造一个关于x的方程，若这个方程有实数解，且这个解的值大于0小于7，就存在；否则，就不存在．

解：（1） 在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，得∠C＝∠B＝60°．

所以∠CPE＋∠PEC＝120°．

因为∠APE＝∠B＝60°，

所以∠CPE＋∠APB＝120°．

所以∠APB＝∠PEC.

所以ABP∽PCE．

（2） 作AFBC于点F，作DQBC于点Q，那么BF＝CQ＝（BC－AD）＝2．

因为∠AFB＝90°，∠B＝60°，

所以∠BAF＝30°，AB＝2BF＝4．

（3）假设存在符合要求的点P，则存在实数x＝BP，这时PC＝7－x．

因为ABP∽PCE，

所以=．

因为DE∶CE＝5∶3，DC＝AB＝4，

所以CE＝DC＝1.5．

所以=．

解之，x1= 1, x2= 6．

因为0＜x＜7，

所以存在符合要求的点P，且BP＝1，或6．

例2 （江苏省苏州市）如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP＝x．

（1） 在ABC中，AB＝ ；

（2） 当x＝ 时，矩形PMCN的周长是14；

（3） 是否存在线段AP，使得APM的面积、PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

分析 （1） 从勾股定理入手求AB的长；（2） 由于矩形PMCN的周长是14，得PM＋PN＝7．要求x的值，应考虑用含x的代数式分别表示PM和PN；（3） 要判断是否存在线段AP，只需判断是否存在实数x，使SAPM=SABC和SPBN=SABC同时成立．

解：（1）在ABC中，

因为∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

所以AB＝＝10．

（2）当AP＝x时，得PB＝10－x．

因为PMAC于M，PNBC于N，

所以RtAPM∽RtABC，

RtPBN∽RtABC.

所以 = ， = ．

所以PM=＝x，

PN=＝10－x．

因为PM＋PN＝7，

所以x＋（10-x）＝7．

解之，x＝5．

所以当x＝5时，矩形PMCN的周长是14．

（3） 假设存在符合要求的线段AP，则存在实数x，使SAPM =SABC和SPBN =SABC同时成立．

因为RtAPM∽RtABC，

RtPBN∽RtABC，

所以=2，=2．

所以=2，=2．

由=2，得x＝；由=2，得x＝10－．

因为两者x的值不一致，

所以不存在符合要求的线段AP．

例3 （辽宁省鞍山市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．

（1） 若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；

（2） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3） 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

分析 （1） 用含x的代数式表示BEF的面积的关键在于用含x的代数式表示BEF的边BE上的高；（2） 由于（1）中的x已使得EF平分等腰梯形ABCD的周长，要判断是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，只需判断是否存在实数x使SBEF =SABCD；（3） 分两种情况考虑：一是BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝8，且SBEF =SABCD；另是BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝16，且SBEF =SABCD．由于BE＋BF的最大值只能是15，所以后一种情况不可能．

解：（1） 过点F作FGBC于点G，过点A作AHBC于点H.

因为AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，

所以BH＝（BC－AD）÷2＝3，AH＝=4.

因为EF平分等腰梯形ABCD的周长，BE＝x，

所以BF＝12－x.

因为RtBFG∽RtBAH，

所以=，FG==（12-x）.

从而SBEF =BE・FG=x・（12-x）=－x2+x.

因为0≤BE≤10，0≤BF≤5,

所以7≤x≤10.

（2） 假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分，那么必存在实数x使SBEF =S.

因为S=（AD+BC）・AH=28，

所以－x2+x=14.

解之，x1=5，x2=7.

因为7≤x≤10，

所以x＝7符合要求，即知存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE的长为7.

（3） 注意到0≤BE≤10，0≤BF≤5，那么0≤BE＋BF≤15．若存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分，则BE＋BF＝等腰梯形ABCD周长的＝8，且SBEF=SABCD=．为方便起见，设此时的BE＝a．

因为RtBFG∽RtBAH，

所以FG = ＝（8-a），

所以a・（8-a）=．

因为该方程无实数解，

所以不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分．