基于量子三叉树的量子Black—Scholes期权定价

摘要： 将量子概率引入到期权定价是最近几年一个新的研究趋势，也称为量子金融.为了期权定价更方便，文章建立了量子三叉树模型，同时利用量子概率建立了连续量子Black-Scholes（B-S）模型。实例应用和Matlab期权敏感性分析都验证了量子B-S优于经典B-S，从而为连续期权定价提供量子决策的途径。

关键词： 量子概率； 量子三叉树；量子B-S模型；量子期权敏感性

中图分类号：F830； O413 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）01-0014-03

0 引言

量子金融是量子概率应用于金融市场的研究，体现了期权定价[1]思想上的创新。目前，国内外学者在这方面已做了一定的工作。陈泽乾[2]提出二项式期权定价量子模型。E.Sega[3]用量子效应解释在金融市场期权价格的不规则变化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系统中，Black-Scholes模型的具体含义。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理论的有息债券欧式期权利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier变换和量子算符模型分析股票信息与价格的关系。本文建立了量子三叉树模型。根据期权折现流在量子概率下是一个鞅过程，给出了量子概率在金融问题中的作用。同时根据Tailor公式，用量子力学过程代替经典随机过程描述股票价格，在股票价格St遵循量子Brown运动的情形下，得到连续量子B-S模型。实例应用和Matlab仿真都证实了量子B-S的有效性。一方面简化了期权计算，另一方面更好地揭示了金融市场的量子特征。

1 量子三叉树模型

2 连续量子Black-Scholes模型

定理2. 量子期权平价公式

在任意一个时刻t

证明：在t=0时刻，由文献[9]可以构造两个量子投资组合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。

设Vt（φ）是投资组合φ在时刻t的财富值，考虑上面两个量子投资组合，在t=T时刻的值

VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}

VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}

故VT（φ1）=VT（φ2），从而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。

有了量子期权平价公式，由量子B-S算出看涨期权的价格，就可以得出看跌期权的价格。

4 实例应用

5 量子欧式期权敏感性[10]应用

以下是用MATLA对欧式期权敏感性做的仿真：

图1和图2表示期权标的物的价格波动性变动对期权价格的影响程度，数学表达式■，f为Black-Scholes期权定价公式中期权价格函数C。颜色反映灵敏度，下面是量子图，它比上面的经典图更能体现细微的波动值的变动。

6 结论

本文以量子概率的角度，利用量子力学理论建立了量子三叉树和量子Black-Scholes模型，处理了复杂期权定价问题。实例应用和敏感性分析都证实了量子B-S模型的有效性，量子期权图对金融市场标的物的价格细微波动变化反应更敏感，更能体现金融市场的量子特征。

参考文献：

[1]J.C. Hull. Options， Futures and Other Derivatives[M]. Prentice Hall， Inc， 2009.

[2]Zeqian Chen. Quantum theory for the binomial model in finance theory [J].Journal of systems science and complexity， 2004， 17：567-573.

[3]Segal W， Segal I E. The Black-Scholes pricing formula in the quantum context[J].Economic Sciences， 1998， 95（3）：4072-4075.

[4]E.Haven. Pilot-wave theory and financial option pricing[J].International Journal of theoretical Physica，2005，44（11）：1957-1962.

[5]Belal.E.Baaquie. The minimal length uncertainty and the quantum model for the stock market [J].Physica A， 2012， 391：2100-2105.

[6]Liviu-Adrian Cotfas. A finite dimensional quantum model for the stock market[J].Physica A， 2013，392：371-380.

[7]P.A.M.Dirac. The Principles of Quantum Mechanics.[M]. Science Press，2011.

[8]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2010：10-13.

[9]陈泽乾，汪寿阳.量子金融的几个问题[J].自然科学进展 2004，14：742-748.

[10]刘春艳，吕喜明.基于MATLAB视图的欧式看涨期权敏感性动态分析[J].经济论坛，2013，512：71-76.