巧用化归思想解数学题

摘要：化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。常见的化归问题有如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等。实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等方法。

关键词：化归思想；解数学题；典型例题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0112

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识。数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在。因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识。

现在的中学生在学习的过程中，普遍认为数学比较难学，下了很大的工夫，可是成绩并不理想，一听就懂，一做就不会，对于诸多数学问题感到无从下手。许多教师为了解决这个问题做了许多努力，也取得了许多的收获和宝贵的经验。下面，举例说明：

例1.如图1，反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点。

（1）求 A、B两点的坐标；

（2）求AOB的面积。

解：（1）解方程组y=-

y=-x+2得x1=4

y1=-2；x2=-2

y2=4

所以A、B两点的坐标分别为A（-2，4） B（4，-2）

（2）因为直线y=-x+2与y轴交点D 的坐标是（0，2），

所以SAOD=×2×2=2，SBOD=×2×4=4，所以SAOB=2+4=6

点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标。

例2. 解方程：2（x-1）2-5（x-1）+2=0

解：令y=x-1，则2y2-5y +2=0.

所以y1=2或y2=，即x-1=2或x-1=.

所以x=3或x=，故原方程的解为x=3或x=

点拨：很显然，此为解关于x-1的一元二次方程。如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未知项的都是含有（x-1），所以可设为y，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程，问题就简单化了。

例3. 如图 2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且ACBD，AD=3，BC=5，求AC的长.

解：过 D作DEAC交BC的延长线于E，则得AD=CE、AC=DE。所以BE=BC+CE=8。

因为 ACBD，所以BDDE。

因为 AB=CD， 所以AC=BD。所以GD=DE。

在RtBDE中，BD2+DE2=BE2

所以BD=BE=4，即AC=4。

点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决。

例4.已知ABC的三边为a，b，c，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，试判断ABC的形状。

解：因为a2+b2+c2=ab+ac+bc，

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，

即：（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0

所以a=b，a=c，b=c

所以ABC为等边三角形。

点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题。

例5.ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图l，根据勾股定理，则a2+b2=c2。若ABC不是直角三角形，如图3和图4，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。

证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。

设CD为x，则有BD2=a2-x2

根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2.

即a2+b2+2bx=c2。 b>0，x>0，

2bx>0，a2+b2

点拨：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：a2+b2=c2的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系。

熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉地化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。抓基础、重转化是学好中学数学的金钥匙。

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为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。

数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。在解题过程中，学生必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透；要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想；或去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。正如笛卡尔所说的：“走过两遍的路就是方法。”

（作者单位：贵州省遵义县洪关乡河堰学校 563109）